A expressão em série de potência em torno do ponto 0 da função

f ( x ) = 1 ( 1 - x ) 3

é dada por?

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Nós precisamos encontrar a série de potências que representa a função

f ( x ) = 1 ( 1 - x ) 3

para isso, é interessante usar a forma de uma série de potências de Maclaurin (ou taylor com x = 0 ), temos que

f ( x ) ≈ 1 n ! d n d x n [ f ( x ) ] | x = 0 x n

poderíamos resolver este problema na força bruta aplicando a definição diretamente à função dada! Ou, podemos facilitar a nossa vida calculando a expressão para uma função mais simples e alterando ela para obtermos o resultado desejado! Consegue pensar em uma função adequada? Saca só!

Passo 2

Podemos usar a expansão em séries de potência da função

g ( x ) = 1 1 - x

avaliando a série de Maclaurin desta função, temos que com n = 0 , obtemos que

1 0 ! g ( x = 0 ) = 1 1 1 1 - 0 = 1

Com n = 1 , precisamos derivar a função uma vez, para obter que

1 1 ! d d x [ 1 1 - x   ] = 1 1 d d x [ ( 1 - x ) - 1 ]

Lembra como calcular esta derivada? Vem comigo!

Passo 3

Temos que esta é uma função composta da forma g ( x ) = h ( i ( x ) ) , ou seja, sua derivada é dada pela regra da cadeia como

d d x [ h ( i ( x ) ) ] = d d i [ h ( i ) ] d d x [ i ( x ) ]

aqui temos que h ( i ) = i - 1 e temos que i ( x ) = 1 - x , desta forma temos pela regra do tombo que

d d i [ i - 1 ] = ( - 1 ) i - 1 - 1 = - i - 2

como temos que i ( x ) = 1 - x , esta derivada é simplesmente

d d i [ i - 1 ] = - ( 1 - x ) - 2

ainda precisamos calcular a seguinte derivada

d d x [ i ( x ) ] = d d x [ 1 - x ] = d d x [ 1 ] - d d x [ x ]

a derivada de constantes é sempre zero, e a derivada de x em relação a x é 1 , portanto, temos que

d d x [ i ( x ) ] = 0 - 1 = - 1

O termo de n = 1 é tal que

1 1 ! d d x [ g ( x ) ] = 1 1 [ - ( 1 - x ) - 2 ] [ - 1 ] = ( 1 - x ) - 2

Agora, precisamos calcular o termo de n = 2 , note que ele tem a forma

1 2 ! d 2 d x 2 [ g ( x ) ] = 1 2 d d x [ d d x [ g ( x ) ] ] = 1 2 d d x [ ( 1 - x ) - 2 ]

A derivada que precisamos calcular tem o mesmo formato que a derivada anterior, mas agora o expoente é - 2 , isso muda apenas a nossa regra do tombo, e obtemos o seguinte

1 2 ! d d x [ ( 1 - x ) - 2 ] = 1 2 [ - 2 ( 1 - x ) - 2 - 1 ] [ - 1 ] = ( 1 - x ) - 3

e agora, ganhamos um expoente - 3 . Este expoente sempre estará ficando mais negativo de menos um em menos um. E, isso sempre fará com que ele elimine o termo fatorial da definição da série de Maclaurin. Para ficar claro, vamos fazer apenas o próximo termo! belezinha? Saca só!

Passo 4

Para n = 3 , temos que

1 3 ! d 3 d x 3 [ g ( x ) ] = 1 3 × 2 × 1 d d x [ d 2 d x 2 [ g ( x ) ] ] = 1 6 d d x [ 2 ( 1 - x ) - 3 ]

Calculando a derivada da mesma forma que fizemos nos passos anteriores, temos que

1 6 d d x [ 2 ( 1 - x ) - 3 ] = 1 6 [ 2 ( - 3 ) ( 1 - x ) - 4 ( - 1 ) ] = ( 1 - x ) - 4

Tendo então que o termo fatorial sempre irá desaparecer e que sempre que avaliamos em x = 0 , nosso coeficiente se torna 1 , temos que a série de Maclaurin é

g ( x ) ≈ 1 + ( 1 ) x 1 + ( 1 ) x 2 + ( 1 ) x 3 + . . . ≈ ∑ n = 1 ∞ x n

Legal! Mas e daí? Como isso ajuda a achar a que queríamos? Para isso, vamos perceber que enquanto derivamos a nossa função g ( x ) pela segunda vez, nós obtemos que

d 2 d x 2 [ g ( x ) ] = 2 ( 1 - x ) - 3 = 2 ( 1 - x ) 3

Ou seja, nossa função é dada por

f ( x ) = 1 2 d 2 d x 2 [ g ( x ) ]

Note que o fator dividindo por 2 aparece porquê a segunda derivada de g ( x ) tem um fator 2 multiplicando que a nossa função não tem! Isso é ótimo, pois temos a expansão em série de g ( x ) , usando ela e o fato que acabei de apresentar, podemos encontrar a nossa expressão em série de potências! Bora lá!

Passo 5

Usando que g ( x ) ≈ ∑ n = 1 ∞ x n , temos que

f ( x ) ≈ 1 2 d 2 d x 2 [ ∑ n = 1 ∞ x n ]

A derivada pode entrar dentro do somatório sem problemas nenhum, portanto, podemos escrever que

f ( x ) ≈ 1 2 ∑ n = 1 ∞ d 2 d x 2 [ x n ]

Usando a regra do tombo, temos que

d d x [ x n ] = n x n - 1

e, se usarmos a regra do tombo novamente, temos que

d 2 d x 2 [ x n ] = d d x [ n x n - 1 ] = n ( n - 1 ) x n - 2

Ou seja, a representação em série de potências de nossa função é dada por

f ( x ) ≈ 1 2 ∑ n = 1 ∞ n ( n - 1 ) x n - 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

f ( x ) ≈ 1 2 ∑ n = 1 ∞ n ( n - 1 ) x n - 2

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