Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.2 - 4

Ache a expansão em série de potências f x = e x + e - x 2 em torno de x = 0 .

Passo 1

Repara que temos um termo e x e outro e - x , no numerador, então vamos relembrar da teoria a representação da serie de Taylor cada um.

Para uma dada função g x = e x , podemos representar assim:

g x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

E analogamente, a série de Taylor para uma dada função h x = e - x temos:

h x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n !

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Passo 2

Verificar os raios de convergência das séries. Para isso, vamos aplicar o Teste da Razão, que nos diz que a série converge quando,

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n < 1

Para g ( x ) , teremos

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ! × n ! x n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 = 0

Para h ( x ) , teremos,

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x n + 1 n + 1 ! × n ! - 1 n x n = lim n → ∞ ⁡ - x n + 1 = 0

Como raio de convergência é dado por R = 1 / L , onde L é o resultado do limite calculado. Temos que os raios de convergência valem infinito. Isso é importante para podermos escrever a função f x da seguinte maneira, em termos de g x e h x :

f x = g x + h x 2

Passo 3

Reescrevendo a função, teremos:

f x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n + - 1 n x n

Repare que a expansão só terá termos com n par! Pois se n for ímpar, o termo é nulo, visto que haverá um termo x n - x n = 0 . Por exemplo, para n = 3

f x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 3 ! x 3 + - 1 3 x 3 = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 3 ! x 3 + ( - x 3 )

Portanto como só teremos números pares, podemos chamar n = 2 k (pois todo número multiplicado por 2 é par) e a expansão será:

f x = 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 2 k ! x 2 k + - 1 2 k x 2 k

=   1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 2 k ! x 2 k + x 2 k

= 1 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k ! 2 x 2 k = ∑ k = 0 ∞ x 2 k 2 k !

Resposta

∑ k = 0 ∞ x 2 k 2 k !

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