Qual é o terceiro termo não nula da série de Taylor centrada em zero da função f x = 1 1 + x 2 ?

a) - 3 x 3

b) - 2 x 2

c) 6 x 2

d) 2 x 3

e) 3 x 2

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Prontos para uma questão de séries?

Nesse problema, temos que achar a série de Taylor da função

f x = 1 1 + x 2

em torno de x 0 = 0 . Para isso, lembre que a série de Taylor de uma função em torno de x 0 é dada por

T x = f x 0 + f ' x 0   x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + f ' ' ' x 0 3 ! x - x 0 3 + …

Ou ainda,

T x = ∑ n = 0 ∞ f n x 0 n ! x - x 0 2

Nesse caso, x 0 = 0 , de modo que

T x = f 0 + f ' 0   x + f ' ' 0 2 x 2 + f ' ' ' 0 6 x 3 + …

Passo 2

O primeiro termo é fácil de calcular:

f 0 = 1 1 + 0 2 = 1

Para achar o segundo termo, derivamos f :

f ' x = - 2 1 + x 3 ⋅ 1

Portanto,

f ' 0 = - 2

Para a segunda derivada, fazemos

f ' ' x = 6 1 + x 4 ⋅ 1

f ' ' 0 = 6

Passo 3

Com isso, podemos escrever:

T x = 1 - 2 x + 6 2 x 2 + f ' ' ' 0 6 x 3 + …

T x = 1 - 2 x + 3 x 2 + …

O terceiro termo não nula da série é

3 x 2

Pode assinalar a alternativa E sem dó 😉!

Resposta

Alternativa E.

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