Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Passo 1

a)

Vamos usar o teste da razão para determinar o raio e o intervalo de convergência. Então:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = n + 1 2 | x 2 n + 1 | n 2 | x 2 n | = | x 2 |

Assim, temos que para convergir, temos que:

x 2 < 1

Então temos que o raio de convergência é 1 e o raio de convergência é ( - 1,1 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Vamos começar escrevendo a série geométrica

∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 - x

A nossa função é

f x = n 2 x 2 n

Esse n na frente pede para derivar a função, não é mesmo?

Então vamos acompanhar o passo a passo

Vamos trocar x por x 2 , então:

∑ n = 0 ∞ x 2 n = 1 1 - x 2

Vamos derivar dos dois lados, dividir por dois e multiplicar por x :

∑ n = 0 ∞ n x 2 n = x 2 1 - x 2 2

Vamos fazer o mesmo procedimento, já que queremos um n 2 , né?

∑ n = 0 ∞ 2 n 2 x 2 n = x 2 x 1 - x 2 2 - x 2 2 ( 1 - x 2 ) ( - 2 x ) 1 - x 2 4 = 2 x x + x 3 1 - x 2 3

Então chegamos a forma final:

∑ n = 0 ∞ n 2 x 2 n =   x 2 1 + x 2 1 - x 2 3

Passo 3

c)

Vamos comparar a série com a série de Taylor, para igualar os coeficientes acompanhados das variáveis de mesmo grau. Vamos escrever que é melhor:

∑ n = 0 ∞ n 2 x 2 n =   ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) n ! x n  

Assim podemos concluir:

  • f 2015 0 = 0
  • f 2016 0 2016 ! x 2016 =   1008 2 x 2016   ⟹   f 2016 0 = 1008 2 2016 !

Resposta

  1. r a i o   d e   c o n v e r g ê n c i a   é   1   e   o   r a i o   d e   c o n v e r g ê n c i a   é   - 1,1 .
  2. ∑ n = 0 ∞ n 2 x 2 n =   x 2 1 + x 2 1 - x 2 3
  3. f 2015 0 = 0 e f 2016 0 = 1008 2 2016 !

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