Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Seja f x = x 6 e x , determine o valor de f 11 0 , onde f 11 é a décima primeira derivada da função f x

Passo 1

Opa, aqui temos duas alternativas. Podemos fazer as contas para a f 11 x e trocar x por 0 .

Jogando no programa que faz derivadas, a resposta seria algo assim

f 11 x = 332640 e x + 332640 x e x + 118800 x 2 e x + 19800 x 3 e x + 1650 x 4 e x + 66 x 5 e x + x 6 e x

Olha que delicia isso hein?!

Não rola tentar achar isso na mão, mas repara que seguinte, a série de Taylor de e x , centrada em 0 é relativamente tranquila de achar. Com essa série em mãos, é só multiplicar por x 6 para acharmos f x em forma de série.

No final, vamos comparar a série de potência que achamos, com série de Taylor de f x .

Vamos para o passo a passo disso para entendermos bem isso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro, vamos achar a série de Taylor de e x , centrada em 0 , para isso vamos considerar g x = e x

g x = e x = ∑ n = 0 ∞ g n 0 x n n !

Vamos começar achando as derivadas

g n x = e x

Afinal, derivar e x vai dar sempre no mesmo, que é e x .

Fazendo x = 0

g n 0 = e 0 = 1

Então vamos ter

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Podemos escrever da seguinte forma

e x = 1 + x 1 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + … + x n n ! + …

Passo 3

Beleza, agora vamos achar a série de potência da f x

f x = x 6 e x

Como

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Temos

f x = x 6 ∑ n = 0 ∞ x n n !

f x = ∑ n = 0 ∞ x n + 6 n !

Passo 4

Se olharmos para a série de Taylor da f x centrada em 0 , vamos ter

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 x n n !

Para não confundirmos os coeficientes, vamos trocar esse n por k

f x = ∑ k = 0 ∞ f k 0 x k k !

Vimos que a nossa f x também vai ser

f x = ∑ n = 0 ∞ x n + 6 n !

Assim, podemos comparar essas duas séries. Para isso, vamos comparar os coeficientes da série

f k 0 x k k ! = x n + 6 n !

Assim, devemos ter

n + 6 = k

Se ele quer a f 11 , devemos ter

k = 11 → n + 6 = 11 → n = 5

Assim,

f 11 0 x 11 11 ! = x 11 5 !

Simplificando esse x 11

f 11 0 = 11 ! 5 !

Resposta

f 11 0 = 11 ! 5 !

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