4 . Considere a função

f x = x 3 - 2 x 2 + 1

Escreva f como série de potências

∑ n = 1 ∞ c n x - a n

centrada em a = 1 .

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para escrever essa função f como um série de potências, vamos usar a série de Taylor ao nosso favor, ela é dada pela seguinte expressão:

∑ n = 1 ∞ f ( n ) ( a ) n ! x - a n

Então temos que aplicar isso a nossa função.

Passo 2

Aplicando a expressão da série de Taylor na nossa função, lembrando que queremos a = 1 , temos:

f x = x 3 - 2 x 2 + 1 = f 1 + f ' 1 1 ! x - 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! x - 1 3 + …

Passo 3

Vamos ver quanto vale cada termo f n 1 n ! Na expansão que fizemos no passo anterior, temos:

f ' 1 1 ! = 2

f ' ' 1 2 ! = - 1 4

f ' ' ' 1 3 ! = - 1 4

Então temos que:

f x = x 3 - 2 x 2 + 1 = - 1 2 + 2 x - 1 - 1 4 x - 1 2 - 1 4 x - 1 3 + …

E a série vai embora até o infinito, infelizmente não tem como achar um termo geral para ela.

Então finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

f x = x 3 - 2 x 2 + 1 = - 1 2 + 2 x - 1 - 1 4 x - 1 2 - 1 4 x - 1 3 + …

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