Qual é a expressão em Série de Maclaurin de a r c t a n ⁡ ( 2 x ) .

( ) f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n n !  

( ) f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x 2 n 2 n - 1  

( ) f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x n 2 n n !  

( ) f x = ∑ n = 2 ∞ - 1 n x n n - 2 !  

( ) f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1  

Passo 1

E aí galerinha, como vocês estão por aí?

Pegamos essa questão de séries e equações diferenciais e nós vamos destruir do jeitinho Responde Aí!

A questão nos pede para determinarmos a expressão em série de Maclaurin de a r c t a n ⁡ ( 2 x ) , então o primeiro passo é lembrar que a série de Maclaurin da função f x é escrita na forma:

f x = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + …

Aplicando a condição para f x = a r c t a n ⁡ ( 2 x ) .

f x = 0 + d d x ( arctan ⁡ 2 x ) ( 0 ) 1 ! x + d 2 d x 2 ( arctan ⁡ 2 x ) ( 0 ) 2 ! x 2 + d 3 d x 3 ( arctan ⁡ 2 x ) ( 0 ) 3 ! x 3 + …

Avaliando as derivadas, teremos:

f x = 0 + 2 1 ! x + 0 2 ! x 2 - 16 3 ! x 3 + 0 4 ! x 4 + 758 5 ! x 5 + …

Simplificando essa equaçãozona!

f x = 2 x 1 - 8 3 x 3 + 32 5 x 5 + …

Passo 2

Opaaa, encontramos a função f x , agora basta transformá-la em série, vem comigooo descobrir como faremos isso!

A ideia que vamos seguir é usar um pouquinho de raciocínio lógico! Por exemplo, percebemos que os termos em f x alternam de positivo e negativo, ou sejaaa, que a série depende do valor de n , logo, - 1 n é um termo da série!

Avaliando termo por termo, percebemos que o denominador é sempre ímpar, para que isso seja verdade, podemos escrever 2 n + 1 .

Seguindo essa mesma lógica, percebemos que a variável x é elevada apenas por números ímpares, para que isso seja verdade, podemos escrever x 2 n + 1 . E por fim, o número que acompanha x é sempre par e crescente, como se fosse elevado a um número 2 n + 1 . E juntando tuuuudoo isso, temos que a série pode ser escrita como:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1  

Essa questão foi dificinha, né?

Vamos chegamos ao fim, ufaaa

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 x 2 n + 1 2 n + 1  

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