Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas de f ( x ) e procurando um padrão.

f ' x = - sen ⁡ x

f ' ' x = - cos ⁡ x

f ' ' ' x = sen ⁡ x

f ' ' ' ' x = cos ⁡ x  

Perceba que existe um padrão que depende de c o s ⁡ ( x ) nos termos de índices pares, e depende de s e n ⁡ ( x ) nos termos com índices ímpares. Então, podemos escrever uma expressão para cada caso:

f 2 k = - 1 k cos ⁡ x

f 2 k + 1 = - 1 k + 1 sen ⁡ x

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Passo 2

Vamos, agora, montar a Série de Taylor.

Para a série em torno a = π , temos:

cos ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ f k π x - π k k !

Precisamos substituir as expressões que encontramos para a derivada. Repare:

f 2 k π = - 1 k cos ⁡ π = - 1 k + 1

f 2 k + 1 π = - 1 k + 1 sen ⁡ π = 0

Então, vamos ter na expressão apenas os índices pares. Reescrevendo a série para os índices ( 2 k ) , temos:

cos ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ f 2 k π x - π 2 k ( 2 k ) !

Substituindo a expressão da derivada:

cos ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ - 1 k + 1 ( x - π ) 2 k ( 2 k ) !

Passo 3

Agora vamos fazer o teste da razão para determinar o raio de convergência. Lembra dele? Temos que aplicar o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k = L

Onde R = 1 / L . Vamos aplicar isso no problema:

c k = - 1 k + 1 2 k !

c k + 1 = - 1 k + 2 2 ( k + 1 ) !

Então, temos o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ - 1 k + 2 2 ( k + 1 ) ! 2 k ! - 1 k + 1 =

= lim k → ∞ ⁡ ( - 1 ) ( 2 k + 2 ) ( 2 k + 1 ) = 0 = L

Como R = 1 / L , temos:

R = ∞

Resposta

R = ∞

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