4. Encontre a série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n ( x ) ⟶ 0 ]. Também encontre o raio de convergência associado.

13.  f ( x ) = x 4 - 3 x 2 + 1 , a = 1

Passo 1

A série de Taylor de uma função f ( x ) centrada no valor a é dada pela fórmula:

f ( x ) = ∑ n = 0 ∞   f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n

Onde f ( n ) ( a ) é a n -ésima derivada de f ( x ) avaliada em x = a .Vamos aplicar essa fórmula à função f ( x ) = x 4 - 3 x 2 + 1 centrada em a = 1 . Primeiro, vamos calcular as derivadas de f ( x ) :

f ( x ) = x 4 - 3 x 2 + 1

Passo 2

Primeira derivada:

f ' ( x ) = 4 x 3 - 6 x

Segunda derivada:

f ' ' ( x ) = 12 x 2 - 6

Terceira derivada:

f ' ' ' ( x ) = 24 x

Quarta derivada:

f ' ' ' ' ( x ) = 24

Agora, vamos avaliar essas derivadas em x = a = 1 :

f ( 1 ) = 1 4 - 3 ⋅ 1 2 + 1 = - 1

f ' ( 1 ) = 4 ⋅ 1 3 - 6 ⋅ 1 = - 2

f ' ' ( 1 ) = 12 ⋅ 1 2 - 6 = 6

f ' ' ' ( 1 ) = 24 ⋅ 1 = 24

f ' ' ' ' ( 1 ) = 24

Passo 3

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor, obtemos:

f ( x ) = - 1 - 2 ( x - 1 ) + 6 2 ! ( x - 1 ) 2 + 24 3 ! ( x - 1 ) 3 + 24 4 ! ( x - 1 ) 4

Simplificando os coeficientes das potências, temos:

f ( x ) = - 1 - 2 ( x - 1 ) + 3 ( x - 1 ) 2 + 4 ( x - 1 ) 3 + ( x - 1 ) 4

Passo 4

O raio de convergência da série de Taylor é o maior intervalo aberto centrado em a no qual a série converge. No nosso caso, a série é uma série de potências polinomial, e sabemos que a série de potências de um polinômio converge para todo x real. Portanto, o raio de convergência é R = ∞ .

Resposta

f ( x ) = - 1 - 2 ( x - 1 ) + 3 ( x - 1 ) 2 + 4 ( x - 1 ) 3 + ( x - 1 ) 4

R = ∞

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