Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 709, exercício 19

Encontre a Série de Taylor de f ( x ) centrada no valor dado de a . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n ( x ) → 0 .]

f x = 1 / x

a = 9

Passo 1

Para achar a representação em série de Taylor de uma função, a gente sempre começa buscando um padrão nas derivadas.

Vamos calcular as derivadas de f ( x ) e procurar um padrão.

f ' x = - x - 3 / 2 2

f ' ' x = 1 ⋅ 3 ⋅ x - 5 / 2 2 ⋅ 2

f ' ' ' x = - 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ x - 7 / 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2

Repare que, a cada derivação, aparece mais um 2 multiplicando o denominador, de modo que temos 2 n .

Ao mesmo tempo, o expoente de x perde uma unidade a cada n (começando em - 1 / 2 , na função primitiva).

No numerador, nós temos a multiplicação de números ímpares, desde 1 até ( 2 n - 1 ) .

O sinal se alterna, ou seja, temos um termo - 1 n (sempre verifique se esse índice está certo testando valores de n ).

Logo, podemos escrever o seguinte:

f n x = - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 … 2 n - 1 2 n x - 1 2 - n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, agora, montar a Série de Taylor! Lembra que ela tem essa cara aqui,

∑ n = 0 ∞ f n a ( x - a ) n n !

Para a série em torno de a = 9 :

1 x = ∑ n = 0 ∞ f n 9 ( x - 9 ) n n !

Precisamos, agora, substituir a expressão que encontramos para a derivada.

f n 9 = - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 … 2 n - 1 2 n ( 9 ) - 1 2 - n =

= - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 … 2 n - 1 2 n ⋅ 9 1 + 2 n 2 =

= - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 … ( 2 n - 1 ) 2 n ⋅ 3 2 ( 1 + 2 n ) 2 =

= - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 … ( 2 n - 1 ) 2 n ⋅ 3 1 + 2 n

Portanto, temos a seguinte série

1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 … 2 n - 1 ( x - 9 ) n 2 n ⋅ 3 1 + 2 n ⋅ n !

Resposta

1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 … 2 n - 1 ( x - 9 ) n 2 n ⋅ 3 1 + 2 n ⋅ n !

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