3. Julgue em C para os itens corretos e E para os errados. Justificando os itens corretos e corrigindo os errados.

a) A série de Taylor de f x = x cos ⁡ 2 x   centrada em a = 0   é dada por ∑ n = 0 ∞ - 1 n   x 2 n + 1 2 n + 1 ! .

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema o enunciado nos dá a função

f x = x cos ⁡ 2 x

e ele nos diz que a série de Taylor centrada em x = 0 dessa função é dada por

∑ n = 0 ∞ - 1 n   x 2 n + 1 2 n + 1 !

Nossa tarefa nesse problema é verificar se esta afirmação é verdadeira e a melhor maneira de buscar isso é calculando a série de Taylor centrada em x = 0 da função dada e ver se é igual à série que o enunciado nos deu.Ahh, a gente calcula essa expansão através dessa fórmulinha aqui:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n  

Então o que a gente tem que fazer é calcular uma série de derivadas de ordem superior e ver se existe algum padrão para encontrar

f n ( 0 )

Fica tranquilo que a gente vai entender isso é agora!

Partiu!!

Passo 2

A primeira coisa que a gente tem que fazer é calcular algumas derivadas de ordem superior da função dada e buscar um padrão, ok? As derivadas da função dada são

f x = x cos ⁡ 2 x  

f 1 x = cos ⁡ 2 x - 2 x sin ⁡ 2 x f 2 x = - 4 sin ⁡ 2 x - 4 x cos ⁡ 2 x f 3 x = - 12 cos ⁡ 2 x + 8 x sin ⁡ 2 x

f 4 x = 16   x cos ⁡ 2 x + 32 sin ⁡ 2 x

f 5 x = 80 cos ⁡ 2 x - 32   x sin ⁡ 2 x

Tô vendo padrão nenhum kkkkk Vamos ver se melhora quando olhamos essas funções para x = 0

f 0 = 0 f 1 0 = 1  

f 2 0 = 0 f 3 0 = - 12

f 4 0 = 0 f 5 0 = 80

A gente consegue observar uma coisa... as derivadas de ordem par são todas iguais a zero. As ímpares tem um padrãozinho sobre o seu sinal.

Passo 3

Bom... Escrever uma cara para essa série pode não ser muito intuitivo de cara. Então, nesses casos, vale a pena a gente escrever alguns termos da série de Taylor e ver se a gente consegue escrever uma fórmula para eles. Abrindo alguns valores da série temos:

f x = f 0 + f 1 0 1 ! x + f 2 0 2 ! x 2 + f 3 0 3 ! x 3 + ⋯

Usando o que a gente sabe sobre a cara das derivadas dessa função, temos: x cos ⁡ 2 x = x - 12 3 ! x 3 + 80 5 ! x 5 - 448 7 ! x 7 + ⋯

x cos ⁡ 2 x = x - 2 x 3 + 2 3 x 5 - 4 45 x 7 + ⋯

Opa!! A gente pode escrever o seguinte: x cos ⁡ 2 x =   ∑ n = 0 ∞ c n x 2 n + 1

Justamente pois quando tivermos n = 1 temos uma potência de x 3 , para n = 2 temos x 5 e por aí vai, certo? Isso é bem padrão quando nos deparamos com uma série em que os expoentes de x são todos ímpares.

A gente também consegue descobrir o c n ele fica alternando entre negativo e positivo, certo? Como ele começa com valores positivos, podemos dizer que: c n = - 1 n   a n

Esse a n a gente encontra olhando os possíveis resultados:

c 0 = 1 c 1 = - 2 =   - 2 2 2 ! c 2 = 2 3 = 2 4 4 !

c 3 =   - 4 45 =   - 2 6 6 !

E a fórmula geral de c n   fica: c n = - 1 n 2 2 n 2 n ! = - 1 n 4 n 2 n !  

Dessa maneira, a série fica representada como: x cos ⁡ 2 x =   ∑ n = 0 ∞ c n x 2 n + 1 x cos ⁡ 2 x =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n 2 n ! x 2 n + 1

Dessa maneira, encontramos a expansão em série de Taylor correta da função!

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

a )   ( E ) x cos ⁡ 2 x =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n 4 n 2 n ! x 2 n + 1

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