Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 709, exercício 6 (adaptado)

Encontre a Série de Taylor de f ( x ) em torno do ponto a = 0 . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n ( x ) → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = ln ⁡ ( 1 + x )

Passo 1

Já resolvemos essa questão em um exemplo, comparando sua derivada com a soma da Série geométrica. Vamos, agora, resolver encontrando a Série de Taylor.

Vamos calcular as derivadas de f ( x ) e procurar um padrão.

f ' x = 1 x + 1

f ' ' x = - 1 x + 1 2

f ' ' ' x = 2 x + 1 3

f ' ' ' ' x = - 6 x + 1 4

Temos os coeficientes: 1 ,   1 ,   2 ,   6 . Veja que

e m   n = 1 → 1 = 0 !

e m   n = 2 → 1 = 1 !

e m   n = 3 → 2 = 2 !

e m   n = 4 → 6 = 3 !

Temos, então, sempre n - 1 ! .

Agora, vamos analisar os sinais. Já vimos que eles se alternam, então, temos ( - 1 ) elevado a alguma potência, mas qual? Veja que nos n ’s pares, temos sinal negativo para o f n , enquanto nos ímpares, temos positivos.

Se escrevermos - 1 n , essa regra não é obedecida, mas escrevendo - 1 n - 1 , os sinais ficam corretos.

e m   n = 1 → - 1 1 - 1 = 1

e m   n = 2 → - 1 2 - 1 = - 1

E assim por diante!

Logo, podemos escrever o seguinte:

f n x = n - 1 ! - 1 n - 1 ( x + 1 ) n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Montar a Série de Taylor.

Para a série em torno de zero, temos, então:

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ f n 0 x n n ! = f 0 + f ' ( 0 ) 1 ! x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 …

Na verdade, como f 0 = ln ⁡ ( 1 + 0 ) = 0 , podemos escrever que a série começa em n = 1 :

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ f n 0 x n n !

Precisamos, agora, substituir a expressão que encontramos para a derivada.

f n 0 = n - 1 ! - 1 n - 1 ( 0 + 1 ) n = n - 1 ! - 1 n - 1

Portanto, temos a seguinte série

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ n - 1 ! - 1 n - 1 x n n ! = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n

Foi importante tiramos o n = 0 do somatório, porque isso causaria uma indeterminação (teríamos 0 no denominador).

Observação: No exemplo que vimos na teoria, tínhamos encontrado o seguinte somatório:

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ k = 0 ∞ - 1 k x k + 1 k + 1

Se você reparar, é a mesma série, basta fazermos n = k + 1 .

Passo 3

Vamos, então, calcular o raio de convergência, pelo Teste da razão. Na forma simplificada para séries de potências temos:

c n = - 1 n - 1 n

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n n + 1 × n - 1 n - 1 =

lim n → ∞ ⁡ - n n + 1 =

lim n → ∞ ⁡ - n n ( 1 + 1 / n ) = 1 = L

Como R = 1 / L , temos R = 1 .

Resposta

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n n

R = 1

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