7) Qual é a expressão em Série de MacLaurin de e - x 2 ?

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos achar a série de MacLaurin de e - x 2 .

E pra isso, vamos lembrar que a sério de Taylor de uma função qualquer f x   é :

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

E que a série de MacLaurin é o caso quando a série de Taylor tem a = 0 . Então queremos achar

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Passo 2

Vamos achar essa n-ésima derivada. Com f x = - x 2

Temos :

f ' x = - 1 2 e - x 2 → f ' 0 = - 1 2

f ' ' x = 1 4   e - x 2 → f ' ' 0 = 1 4

f ' ' ' x = - 1 8 e - x 2 → f ' ' ' 0 =   - 1 8

Daí achamos o padrão:

f n = - 1 n 2 n

E a série de MacLaurin é:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n n ! x n

Acabamos essa questão. Vamos pra próxima?

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n x n 2 n n !

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