(Capítulo 11.10 – Exercício 5) Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = 1 - x - 2

Passo 1

E aeeee galera, vamos lá pra mais uma?

Aqui vamos ter uma função f ( x ) , e aí queremos escrever essa função no formato da série de Maclaurin.

Só pra relembrar, a série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Onde f n 0 é a n-ésima derivada no ponto 0

Então vamos lá

Passo 2

Temos a função

f x = 1 - x - 2

Vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0 , para aí reconhecermos se ela tem algum padrão na derivada, algum loop que acontece, enfim hehehe

f x = 1 - x - 2 = 1 1 - x 2 ⇒ f 0 = 1

f ' x = - 2 1 - x - 3 - 1 = 2 1 - x 3 ⇒ f ' 0 = 2 = 2 !

f ' ' x = - 3 ⋅ 2 1 - x - 4 - 1 = 3 ⋅ 2 1 - x 4 ⇒ f ' ' 0 = 3 ⋅ 2 = 3 !

f ' ' ' x = - 4 ⋅ 3 ⋅ 2 1 - x - 5 - 1 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 1 - x 5 ⇒ f ' ' ' 0 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 4 !

Podemos perceber o padrão, de forma geral temos f n 0 = n + 1 !

Passo 3

Show, então a série para a função é

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Para a função que estamos trabalhando nesse exercício, encontramos f n 0 = n + 1 ! , então

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 ! n ! x n

f x = ∑ n = 0 ∞ n + 1 . n ! n ! x n

f x = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n

Uhuuuu, encontramos a série, agora vamos encontrar o raio de convergência

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Passo 4

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

∑ c n . x - a n

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado L

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E aí o nosso raio de convergência R vai ser

R = 1 L

Fechou?

Sabendo que nossa série de potências é

∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

, temos que o termo que gera a potência é o x n , enquanto o c n que multiplica ele é:

c n = n + 1

Então vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

Temos c n + 1 = n + 1 + 1 = n + 2 , então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1

Vamos fazer L’Hospital para sair da indeterminação. Derivando em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 1

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = 1

Então, o raio de convergência é

R = 1 L = 1 1 = 1

E fimmmm

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ ( n + 1 ) x n

R = 1

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