Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Determine o valor da série

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n π 2 n + 1 2 n !

Dica: Use a série de potência de f x = x cos ⁡ 2 x para lhe auxiliar.

Passo 1

Vamos achar a série de potência da f x que ele deu primeiro. Para isso, vamos começar achando a série de potência de cos ⁡ x , a série de potência de uma função vai ser a série de Taylor, vamos centrá-la em 0 .

Vamos fazer

g x = cos ⁡ x

Vamos calcular as derivadas de g ( x ) e procurar um padrão.

g ' x = - sen ⁡ x

g ' ' x = - cos ⁡ x

g ' ' ' x = sen ⁡ x

f ' ' ' ' x = cos ⁡ x  

Logo, podemos escrever o seguinte:

g 2 n = - 1 n cos ⁡ x

g 2 n + 1 = - 1 n + 1 sen ⁡ x

Temos, portanto, expressões diferentes para índices pares e ímpares.

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Passo 2

Vamos, agora, montar a Série de Taylor.

Para a série em torno de zero, temos:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ g n 0 x n n !

Precisamos substituir as expressões que encontramos para a derivada. Repare:

g 2 n 0 = - 1 n cos ⁡ 0 = - 1 n

g 2 n + 1 0 = - 1 n + 1 sen ⁡ 0 = 0

Assim, restam apenas os índices pares. Reescrevendo a série para os índices ( 2 n ) , temos:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ g 2 n 0 x 2 n ( 2 n ) !

Substituindo a expressão da derivada:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

Passo 3

Vamos, então, calcular o raio de convergência, pelo Teste da razão. Na forma simplificada para séries de potências temos:

c n = - 1 n ( 2 n ) !

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! × 2 n ! - 1 n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 ( 2 n + 2 ) ! × 2 n ! - 1 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) = 0 = L

Como R = 1 / L , tomando a convenção que 1 / 0 = ∞ , temos R = ∞ .

Fizemos isso, só para garantir que podemos usar qualquer valor de x na nossa série, coisa que vamos fazer mais p frente.

Passo 4

Agora, vamos partir para a série de cos ⁡ 2 x , para isso, vamos trocar x por 2 x na série que achamos

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n ( 2 n ) ! → cos ⁡ 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 x 2 n ( 2 n ) ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n ( 2 n ) !

Passo 5

A nossa f x vai ser x cos ⁡ 2 x , então é só pegar a série que achamos ali em cima e multiplicar por x

f x = x cos ⁡ 2 x = x ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n ( 2 n ) !

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n + 1 ( 2 n ) !

Ufa, achamos a f x que ele disse que vai nos ajudar. Só não sabemos como ainda hahaha

Passo 6

Vamos olhar a série que ele quer

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n π 2 n + 1 2 n !

Comparando com a série que achamos para f x ,

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n + 1 ( 2 n ) !

Podemos perceber que x = π

Assim, vamos ter

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n π 2 n + 1 2 n ! = f π

Assim

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n π 2 n + 1 2 n ! = π cos ⁡ 2 π = π

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n π 2 n + 1 2 n ! = π

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