Encontre a série te Taylor para f x = ln ⁡ 1 x centrada em a = 1 e determine seu intervalo de convergência

Passo 1

Olá, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

A questão deu uma função f x = ln ⁡ 1 / x e pediu para encontrarmos a série de Taylor centrada em a = 1 e pediu também para determinar o intervalo de convergência.

Bom, a série de Taylor de alguma função é dado por

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ' ( a ) x - a n n !

Então a primeira coisa a se fazer é encontrar o padrão de derivada que essa função vai apresentar. Não esquece de aplicar a derivada em x = 1 , pois a série é centrada nesse ponto!

Depois que encontrarmos esse padrão, basta substituir na série, simplificar o que der para simplificar e está pronto! Nossa série de Taylor da função f ( x ) .

Mas não é só isso que a questão pede! Ela pergunta o intervalo de convergência dessa série. E para determinar isso, precisamos aplicar o teste da razão para convergência absoluta

Nesse teste avaliamos o limite da razão do termo geral. Se esse limite for menor do que 1 , então a série converge. E a partir desse teste, vamos definir qual é o intervalo onde nossa série tem comportamento convergente.

Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é

f x = ln ⁡ 1 x = ln ⁡ x - 1 = - 1 ln ⁡ x

Reescrevi a função para ficar mais fácil encontrarmos um padrão para a derivada.

Derivando f x = - ln ⁡ x uma vez (e aplicando em 1)

f ' = - 1 x ,   f ' 1 = - 1

Mais uma vez

f ' ' = 1 x 2 , f ' ' 1 = 1

Mais uma vez

f ' ' ' = - 2 x 3 , f ' ' ' 1 = - 2

E mais uma vez

f i v = 6 x 4 ,   f i v 1 = + 6

Percebemos um padrão aqui! Começando pelo sinal: a primeira derivada dá um sinal negativo, a segunda positiva, terceira negativa e assim alternadamente. E o valor? É sempre o fatorial de ( n - 1 ) ordem da derivada! Na primeira temos 1, pois 0 ! = 1 , e segue nas outras ordens 1 ! = 1 ,   2 ! = 2 ,   3 ! = 6 e assim vai... então o padrão de derivada é:

f n = - 1 n n - 1 !

Beleza?

Passo 3

Agora que temos o padrão de derivada, podemos montar nossa série de Taylor:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ' ( a ) x - a n n !

- ln ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n - 1 ! x - 1 n n !

O que podemos fazer é simplificar o fatorial de n , abrindo o denominador até n - 1 ! :

- ln ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n - 1 ! x - 1 n n . n - 1 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n n

E é essa a série de Taylor de - ln ⁡ x centrada em x = 1 . Beleza?

Agora vamos calcular o intervalo de convergência dessa série! Mas pra isso precisamos achar o raio de convergência primeiro!

Passo 4

Mas o que é raio de convergência de uma série?

Supondo uma séria escrita nesse formato aqui

∑ n = 1 ∞ c n x - a n

O intervalo de convergência é o intervalo na reta dos x onde essa série seria convergente. Por exemplo, supondo que essa série só vai convergir quando x estiver entre - 1 e 1 :

x < 1 é o intervalo de convergência! E o raio de convergência? É a distância entre o centro da série até um dos extremos. Aqui o raio seria R = 1 .

Para verificar se os extremos pertencem ao intervalo (bolinha fechada) ou não (ou aberta) basta substituir cada extremo na série e analisar o comportamento. Se for divergente então nesse ponto o intervalo é aberto. Se a série for convergente, então o intervalo ali é fechado.

Beleza?

Mas e como calculamos esse raio de convergência? Pelo reste da razão das séries alternadas!

Se a série estiver escrita nesse formato:

∑ n = 1 ∞ c n x - a n

Então vamos calcular L :

L = lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

E então o raio de convergência será R :

R = 1 L

E o intervalo? Bom, aí é só fazer + R e - R a partir do centro da série:

I = a - R ; a + R

Obs.: não esquece de verificar se o intervalo é aberto ou fechado! (aqui deixei ele aberto! Mas precisamos verificar, ok?)

  • Então a ideia para resolver essa questão é o seguinte:
  • Escrever a série no formato ∑ c n x - a n
  • Determinar c n ,   c n + 1 e a razão c n + 1 / c n
  • Calcular o limite dessa razão no infinito
  • Com o valor do limite L , calcular o raio de convergência e o intervalo
  • Por fim, testar os extremos do intervalo.

Beleza?

Vamos lá!

Passo 5

Nossa série já está centrada em x = 1 ,

∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n n

Então c n é tudo que multiplica o termo x - 1 n no somatório:

c n = 1 n

Para achar c n + 1 basta substituir n por ( n + 1 ) :

c n + 1 = 1 n + 1

Beleza?

Agora vamos calcular a razão c n + 1 / c n :

c n + 1 c n = 1 n + 1 1 n = 1 n + 1   . n 1  

c n + 1 c n = n n + 1

Passo 6

O próximo passo é calcular o limite dessa razão no infinito (e aqui pode usar e abusar de todas as técnicas que você viu lá em cálculo 1):

L = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = ∞ ∞

Como nos deparamos com uma indeterminação, vou aplicar a regra de L’Hopital. É só derivar em cima, derivar embaixo e avaliar de novo o limite.

L = lim n → ∞ ⁡ n ' n + 1 ' = lim n → ∞ ⁡ 1 = 1

L = 1

Com o valor do limite, podemos determinar o raio e o intervalo de convergência!

R = 1 L = 1 1

E o intervalo vai ser, somando e subtraindo o valor do raio, do centro da série (que vimos lá no passo 1 que esta série é centrada em x = 1 ):

I = a - R ; a + R

I = 1 - 1 ;   + 1 + 1 = 0 ; 2

Beleza? Já determinamos o intervalo de convergência, mas não sabemos se os extremos pertencem ou não ao intervalo, então precisamos testar!

Passo 7

Nosso próximo passo é testar os extremos! Primeiro vamos testar x = 2 :

∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n n

Fazendo x = 2 temos 2 - 1 n - 1 n = - 1 n e a série fica assim:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Caímos em uma série alternada, então para analisar seu comportamento, vamos relembrar as condições do teste da série alternada:

Vamos analisar primeiro o limite no infinito:

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0

Oba! A primeira condição já foi satisfeita! Agora vamos verificar a segunda:

a 1 = 1 1

a 2 = 1 2

a 3 = 1 3

E assim por diante... então podemos ver que a n + 1 < a n , satisfazendo, portanto, a segunda condição do teste!

n = 1 - 1 n n

é convergente e isso significa que x = 2 pertence sim ao nosso intervalo de convergência!

Beleza?

Vamos testar o outro lado?

Passo 8

Agora precisamos substituir x = 0 na série de potências:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n n

Daí temos

∑ n = 1 ∞ 1 n

Que é a série harmônica, e sabemos que ela é divergente

Isso significa que em x = 0 o intervalo é aberto!

Recapitulando:

O intervalo que encontramos é:

I = ( 0 ; 2 )

Vimos que em x = 2 a série numérica é convergente e que em x = 0 ela é divergente. Então o intervalo é fechado em 2 e aberto em 0 :

I = ( 0 ; 2 ]

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n n

I = ( 0 ; 2 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Taylor de f centrada em 4 se f n 4 = - 1 n n ! 3 n n + 1 Qual é o raio de convergência da série de Taylor?
Encontre a série de Maclaurin f ( x ) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n → 0 .] Também encontre o raio de converg
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência. 1 1 + x 4
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Diga o raio de convergência. 1 + x
Use uma série de Maclaurin na Tabela 1 para obter a série de Maclaurin da função dada. f x = sen ⁡ π x