(Capítulo 11.10 – Exercício 8) Encontre a sére de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = c o s ⁡ ( 3 x )

Passo 1

Vamossss pra mais uma

Aqui vamos ter uma função f ( x ) , e aí queremos escrever essa função no formato da série de Maclaurin.

Só pra relembrar, a série de Maclaurin é da forma

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

Onde f n 0 é a n-ésima derivada no ponto 0

Então vamos lá

Passo 2

Temos a função

f x = c o s ⁡ ( 3 x )

Vamos derivar a função algumas vezes e substituir x = 0 , para aí reconhecermos se ela tem algum padrão na derivada, algum loop que acontece, enfim hehehe

Podemos montar a seguinte tabela, para alguns valores de n:

Legal, já temos algumas derivadas para os primeiros valores de n , agora vamos colocar isso no formato da série de Maclaurin

Passo 3

Podemos escrever f ( x ) como:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

c o s ⁡ ( 3 x ) = f 0 + f ' 0 x + f ' ' ( 0 ) 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 !   x 3 + f 4 ( 0 ) 4 ! x 4 + f 5 ( 0 ) 5 ! x 5 + ⋯  

Usando as derivadas que encontramos no passo anterior, temos:

c o s 3 x = 1 + 0 - 3 2 2 ! x 2 + 3 4 4 ! x 4 + 0 + ⋯

c o s 3 x = 1 - 3 2 2 ! x 2 + 3 4 4 ! x 4 + ⋯

Olha que show: só temos os termos pares nessa expansão: 0, 2, 4, ... Então só vamos usar termos com 2 n , que é sempre um número par

Além disso, o sinal vai trocando entre positivo e negativo, então vamos colocar o termo - 1 n na série

Podemos então representar essa expressão em termos da série:

∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 2 n   x 2 n 2 n !

Uhuuu, encontramos a série

Agora só falta o raio de convergência dela

Só pra lembrar: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Passo 4

Para encontrarmos o raio de convergência, vamos aplicar o queridíssimo Teste da Razão, que diz que dada uma série de potência assim:

∑ c n . x - a n

Vamos calcular esse limite, obtendo o resultado L

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E aí o nosso raio de convergência R vai ser

R = 1 L

Fechou?

Sabendo que nossa série de potências é

∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 2 n   x 2 n 2 n !

, temos que o termo que gera a potência é o x 2 n , enquanto o c n que multiplica ele é:

c n = - 1 n ⋅ 3 2 n   1 2 n !

Então vamos calcular esse limite:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

Temos c n + 1 = - 1 n . - 1 ⋅ 3 2 n . 3   1 2 n + 1 ! , então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n . - 1 ⋅ 3 2 n . 3   1 2 n + 1 ! - 1 n ⋅ 3 2 n   1 2 n !

Cortando os termos comuns em cima e embaixo:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 . 3   1 2 n + 1 !   1 2 n !

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 3 2 n + 1 ! . 2 n !

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 3 2 n + 1 . 2 n ! . 2 n !

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 3 2 n + 1

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = 0

Então, o raio de convergência é

R = 1 L → 0 = ∞

E fimmmm

Resposta

∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ 3 2 n   x 2 n 2 n !

R → ∞

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