Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

UFRJ, Cálculo 4, PF - 2017.2, Questão 1

( a ) Encontre a série de Taylor da função f x = ln x centrada em x = 1 .

( b ) Calcule como uma série de potência a integral ln x x - 1 d x centrada em x = 1 .

Passo 1

( a )

Vamos lembrar:

n = 0 r n = 1 1 - r ,     p a r a   t o d o   r < 1

Bom, apareceu um logaritmo e você quer escrever como somatório, derive!!!

f x = ln x

f ' x = 1 x

Como queremos a série centrada x = 1 , faremos assim:

f ' x = 1 1 - 1 - x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora substituímos no somatório ali em cima!

1 1 - 1 - x = n = 0 1 - x n ,     p a r a   x - 1 < 1

1 1 - 1 - x = n = 0 - 1 n ( x - 1 ) n ,     p a r a   x - 1 < 1

Passo 3

Mas o que nos interessa é saber f ( x ) , então temos que integrar ambos os lados:

f ' x = n = 0 - 1 n x - 1 n

f ' x d x = n = 0 - 1 n x - 1 n d x

f x = n = 0 - 1 n x - 1 n d x

f x = n = 0 - 1 n x - 1 n + 1 n + 1 + C

Quando x = 1 :

f 1 = ln 1 = n = 0 - 1 n 1 - 1 n + 1 n + 1 + C = 0

C = 0

Passo 4

( b )

Precisamos resolver a seguinte integral:

ln x x - 1 d x

Mas a função ln x já foi encontrada (centrada em x = 1 ). Vamos simplificar esse termo da integral:

ln x x - 1 = n = 0 - 1 n x - 1 n + 1 n + 1 x - 1

ln x x - 1 = n = 0 - 1 n x - 1 n + 1 ( n + 1 ) ( x - 1 )

ln x x - 1 = n = 0 - 1 n x - 1 n ( n + 1 )

Passo 5

Agora substituindo na integral:

ln x x - 1 d x = n = 0 - 1 n x - 1 n ( n + 1 ) d x

ln x x - 1 d x = n = 0 - 1 n x - 1 n n + 1 d x

ln x x - 1 d x = n = 0 - 1 n x - 1 n + 1 n + 1 2 + C

Somamos uma constante porque a integral é indefinida.

Resposta

a f x = n = 0 - 1 n x - 1 n + 1 n + 1

b ln x x - 1 d x = n = 0 - 1 n x - 1 n + 1 n + 1 2 + C

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