Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Séries de Taylor

Considere a série de potências

f x = ∑ n = 1 + ∞ x + 1 n - 1 2 n n 3

Encontre f 15 ( - 1 ) (a derivada de ordem 15 da função f em x = - 1 ).

Passo 1

Pelo Teorema de Taylor, temos que

f x = ∑ n = 0 + ∞ f n ( - 1 ) x + 1 n n !

Bom, observe que a nossa série começa em x + 1 n - 1 , enquanto a nossa série de Taylor começa com x + 1 n ! Assim, vamos dar uma ajeitada para podermos comparar com o formato de Taylor:

f x = ∑ n = 1 + ∞ x + 1 n - 1 2 n n 3 = ∑ n = 0 + ∞ x + 1 n 2 n + 1 ( n + 1 ) 3

Agora que temos n como expoente do x + 1 , podemos prosseguir!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos comparar as duas séries:

f x = ∑ n = 0 + ∞ x + 1 n 2 n + 1 ( n + 1 ) 3 = ∑ n = 0 + ∞ f n ( - 1 ) x + 1 n n !

Isso nos dá

1 2 n + 1 ( n + 1 ) 3 = f n ( - 1 ) n !

Para n = 15 :

1 2 16 ( 16 ) 3 = f 15 ( - 1 ) 15 !

O que nos dá

f 15 - 1 = 15 ! 2 16 ( 16 ) 3

Resposta

f 15 - 1 = 15 ! 2 16 ( 16 ) 3

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