Determine uma representação por séries de potências para f ( x ) = x   s e n ( 2 x ) . Utilize a série de Maclaurin em sua resolução, explique detalhadamente como ela foi utilizada.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Esta questão quer que determinemos uma série de potências para a seguinte função

f ( x ) = x   s e n ( 2 x )

usando uma série de Maclaurin. É basicamente isso! Mas como fazer isso? A série de Maclaurin é definida como

f ( x ) ≈ ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( d n f ( x ) d x n ) | x = 0 x n

É bem parecida com a série de Taylor, mas com x 0 = 0 . Ou seja, precisamos calcular várias derivadas para identificar uma expressão geral para a série! Mas tem uma forma de facilitar as nossas derivadas, vem comigo!

Passo 2

Vamos trabalhar em encontrar a série de Maclaurin da seguinte função

g ( x ) = s e n ( x )

e através da série desta função, obter a que desejamos! Belezinha? Primeiro, vamos calcular cada um dos coeficientes, temos que para n = 0 , obtemos

a 0 = s e n ( 0 ) = 0

da mesma forma, para n = 1 , temos agora

a 1 = d d x [ s e n ( x ) ] | x = 0

como temos que a derivada de seno é

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

Podemos obter que

a 1 = c o s ( 0 ) = 1

Vamos continuar repetindo este processo! Temos que para n = 2 , precisamos calcular

a 2 = d 2 d 2 x [ s e n ( x ) ] | x = 0 = d d x [ d d x [ s e n ( x ) ] ] | x = 0

Acabamos de calcular que d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x ) , e usando que

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

Obtemos que

a 2 = - s e n ( 0 ) = 0

A ideia é calcular alguns outros termos e tentar identificar uma relação entre eles! Pelo que obtive até agora, parece que teremos uma alternância de sinal, e a existência de apenas coeficientes ímpares! Mas vamos abrir mais alguns para garantir!

Passo 3

Com n = 3 precisaremos calcular

a 3 = d 3 d x 3 [ s e n ( x ) ] | x = 0

Como já calculamos a primeira e a segunda derivada, precisamos apenas derivar novamente o resultado d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x ) , que nos leva à

a 3 = d 3 d x 3 [ s e n ( x ) ] | x = 0 = d d x [ - s e n ( x ) ] | x = 0

ou, simplesmente,

a 3 = - c o s ( 0 ) = - 1

Note que o a 4 será nulo, e o a 5 terá sinal positivo, ou seja, sempre teremos o valor 1 para todo coeficiente, apenas os coeficientes ímpares são não-nulos, e eles alternam o sinal! Portanto, temos que

s e n ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1

O n = 2 m + 1 garante que para todo m tenhamos apenas os valores ímpares, e ( - 1 ) m dá a alternância de sinal desejada! Então essa é a série de potências para o seno! No entanto, não era ela que queríamos, certo? Vamos mexer nisso um pouco agora!

Passo 4

A função que queremos expandir é a seguinte

x   s e n ( 2 x )

portanto, as diferenças com o que calculamos são, primeiro temos s e n ( 2 x ) e não s e n ( x ) , e temos um x multiplicando! A primeira mudança que vale a pena fazer é mudar o argumento do seno em nossa expansão, temos que

s e n ( 2 x ) = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m ( 2 m + 1 ) ! ( 2 x ) 2 m + 1 = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1

e, agora, é só multiplicar por x em ambos os lados, temos que

  x   s e n ( 2 x ) = x ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 1

Como o somatório é em m , podemos simplesmente entrar com a variável x , e usando que x   x 2 m + 1 = x 2 m + 2 , obtemos

  x   s e n ( 2 x ) = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! x 2 m + 2 = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! x 2 ( m + 1 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  x   s e n ( 2 x ) = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! x 2 ( m + 1 )

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