Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Explicite a série de Taylor de f x = ln ⁡ x centrada em a = 2

Passo 1

Antes de partir para a resolução em si, vamos reorganizar a função:

ln ⁡ x = l n ⁡ ( 2 + x - 2 )

ln ⁡ ( 2 + x - 2 ) = ln ⁡ [ 2 ( 1 + x - 2 2 ]

Usando as propriedades dos logaritmos:

ln ⁡ [ 2 ( 1 + x - 2 2 ] = ln ⁡ 2 + ln ⁡ ( 1 + x - 2 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos escrever como um somatório. Mas antes, vamos recordar que:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 1 - r ,   p a r a   t o d o   r < 1

f x =   ln ⁡ 2 + ln ⁡ ( 1 + x - 2 2 )

Bom, como apareceu um logaritmo e queremos escrever como somatório, teremos que derivar, porém derivar apenas o segundo termo.

Denominando:

g x = ln ⁡ ( 1 + x - 2 2 )

Iremos derivar:

g ' x = 1 2 1 ( 1 + x - 2 2 )

Comparando com a forma recordada, temos que:

g ' x = 1 2   ∑ n = 0 ∞ [ - x - 2 2 n ]

g ' x = 1 2   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 2 2 n

Mas o que queremos saber é g ( x ) , então temos que integrar ambos os lados:

∫ g ' x   d x =   ∫ 1 2   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 2 2 n d x

Para integrarmos a série, faremos uma substituição simples:

u =   x - 2 2

d u = 1 2   d x

Assim, teremos:

g x = 1 2   ∑ n = 0 ∞ ∫ - 1 n u n 2   d u

g x =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n u n + 1 n + 1 + C

Retornando o valor de u , temos:

g x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x - 2 2 ) n + 1 n + 1 + C

Como a função é centrada em 2, temos que

g 2 = 0

0 + C = 0     ↔ C = 0

Logo, a série de Taylor para f x = ln ⁡ x centrada em a = 2 é:

f x =   ln ⁡ 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x - 2 2 ) n + 1 n + 1

Resposta

f x =   ln ⁡ 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x - 2 2 ) n + 1 n + 1

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