Seja c 0 + c 1 x - a + c 2 x - a 2 + c 3 x - a 3 + … a série de Taylor da função f x = x 1 3 em torno de a = 1 . Então, o valor de c 5 é:

Escolha uma opção:

a. 22/729

b. 10/243

c. 880/243

d. -10/243

e. -880/243

f. -22/729

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu uma função f x = x 1 3 representada por uma série de Taylor:

c 0 + c 1 x - a + c 2 x - a 2 + c 3 x - a 3 + …

torno de a = 1 .   E pediu pra gente encontrar o valor de c 5 , que é um dos coeficientes da série. Nesse caso, nós precisamos lembrar que se temos uma representação em série de potências em a , ou seja:

f x = ∑ n = 0 ∞ c n x - a n

Então os seus coeficientes são dados por:

c n = f n ( a ) n !

Como a gente quer encontrar o c 5 , a nossa derivada f n vai ser a quinta derivada da função, aplicada no ponto a = 1 , ou seja:

c 5 = f 5 ( a ) 5 !

Então vamos calcular!

Passo 2

Calculando a primeira derivada da função f x = x 1 3 , temos:

f ' x = 1 3 x - 2 3

Derivando novamente:

f ' ' x = - 2 9 x 5 3

Para a terceira derivada:

f ' ' ' x = 10 27 x 8 3

Na quarta derivada:

f 4 x = - 80 81 x 11 3

E finalmente, a quinta derivada:

f 5 x = 880 243 x 14 3

Passo 3

Aplicando a derivada no ponto 1 , temos:

f 5 1 = 880 243 ( 1 ) 14 3 = 880 243

Substituindo na fórmula do c 5 :

c 5 = f 5 ( a ) 5 !

c 5 = 880 243 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 880 29160

Simplificando:

c 5 = 22 729

E nós podemos marcar a letra a.

Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

a .   22 / 729

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