5 – Determine uma representação de série de potência para f x = x 2 2 - x 2 e estude seu raio de convergência.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que converter a função dada no enunciado f x = x 2 2 - x 2 para uma série de potência e depois disso, temos que determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência para essa série.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔🤔

Uma série de potência genérica é dada como ∑ x n = 1 1 - x , então temos que escrever f x como algo parecido com a série genérica para encontrar a representação para nosso caso.

Depois de encontrarmos essa representação, vamos aplicar o teste da razão para obter o raio e o intervalo de convergência dessa série!

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar manipulando f x de modo a deixá-lo o mais próximo possível de 1 1 - x

Colocando x 2 para fora da fração, temos

f x = x 2 2 - x 2 → f x = x 2 1 2 - x 2

Podemos reescrever 2 - x 2 como 2 - x 2 - x , concorda?

f x = x 2 1 2 - x 2 - x

f x = x 2 1 2 - x 1 2 - x

Colocando 2 em evidência em 2 - x

f x = x 2 1 2 - x 2 1 2 - x 2

f x = x 2 2 1 1 - x 2 1 1 - x 2

Perceba que chegamos em algo muito parecido com 1 1 - x 2 . A diferença é que no lugar de x , temos x / 2 , portanto podemos escrever que

f x = x 2 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 n ∑ n = 0 ∞ x 2 n

f x = x 2 2 ∑ n = 0 ∞ x 2 2 n

Passando o x 2 / 2 para dentro da série, temos

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 2 n x 2 2

f x = ∑ n = 0 ∞ x 2 2 n + 2

Portanto, essa é a série de potência que encontramos para nossa função f x !

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora temos que aplicar o teste da razão para obter o raio de convergência e o intervalo de convergência.

Esse teste consiste em calcular o limite de a n + 1 a n para n tendendo a . Assim se o resultado desse limite for menor que 1 a série converge, se for maior que 1 a série diverge, mas se for igual a 1 não podemos afirmar nada.

Se a n = x 2 2 n + 2 , então substituindo n por n + 1 , temos

a n + 1 = x 2 2 n + 1 + 2

a n + 1 = x 2 2 n + 2 + 2 = x 2 2 n + 4

Calculando o limite, vamos obter

lim n → ∞ ⁡ x 2 2 n + 4 x 2 2 n + 2  

Como a b + c = a b a c , então

lim n → ∞ ⁡ x 2 2 n x 2 4 x 2 2 n x 2 2

Podemos simplificar a fração cortando x 2 2 n já que ele está multiplicando no numerador e o denominador

lim n → ∞ ⁡ x 2 4 x 2 2

lim n → ∞ ⁡ x 2 2 = x 2 2

Assim, forçando esse resultado convergir, fazemos x 2 2 ser menor que 1

Entendeu essa parte? 😁

Passo 4

Assim, temos que

x 2 2 < 1

Como x 2 2 não pode resultar em um valor negativo, então podemos desconsiderar o módulo

x 2 2 < 1

Tirando a raiz dos dois lados para eliminar o expoente 2 de um dos lados, temos

x 2 2 < 1

Como a 2 = a , então

x 2 < 1

Agora sim x / 2 pode ser negativo ou positivo, então para eliminar o módulo temos que fazer o seguinte...

- 1 < x 2 < 1

Multiplicando todos os lados por 2

- 1 · 2 < x 2 · 2 < 1 · 2

- 2 < x < 2

Então vimos que entre - 2 e 2 , a série converge, mas será que em x = 2 e em x = - 2 a série também converge?

Nesses extremos quando lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 não podemos afirmar nada, então temos que analisar os dois extremos separadamente.

Interessante, não é? 😉

Passo 5

Para x = 2 , temos

∑ n = 0 ∞ x 2 2 n + 2 → ∑ n = 0 ∞ 2 2 2 n + 2

∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 2

Pelo teste da divergência, fazendo lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 2 , vemos que resulta em 1 já que 1 elevado a qualquer valor é 1 .

Agora para x = - 2 , temos

∑ n = 0 ∞ x 2 2 n + 2 → ∑ n = 0 ∞ - 2 2 2 n + 2

∑ n = 0 ∞ - 1 2 n + 2

Novamente pelo teste da divergência, o limite de - 1 2 n + 2 para n → ∞ é igual a 1 já que o expoente 2 n + 2 é par.

O que queremos dizer com isso, é que o teste da divergência consiste em calcular lim n → ∞ ⁡ a n .

Se esse limite resultar em um valor diferente de 0 , a série diverge. Se para x = 2 e x = - 2 o limite resulta em 1 , então nos extremos do intervalo, a série diverge.

Dessa forma, o intervalo de convergência é dado por - 2 < x < 2   e o raio de convergência é igual a 2 .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∑ n = 0 ∞ x 2 2 n + 2

Raio de convergência: 2

Intervalo de convergência: - 2 < x < 2

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