Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

A soma da série

∑ n = 0 ∞ x + 2 n n + 3 !

Para x ∈ R e x ≠ - 2 é:

a 1 x + 2 2 e x + 2

b 1 x + 2 3 e x + 2

c 1 x + 2 3 e x + 2 - x + 2 2 2

d 1 x + 2 2 e x + 2 - 1 - x + 2

e 1 x + 2 3 e x + 2 - 1 - x + 2 - x + 2 2 2

Passo 1

Cara, essa série é muito parecida com uma famosa série de Maclaurin! Dá só uma olhada nela:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

DE ONDE VOCÊ TIROU ISSO?

Cara, tem dois motivos: o primeiro é porque é parecido, basta fazer umas modificações, e o segundo motivo é porque aparece e x + 2 em todas as respostas, então a gente suspeita que tenha algo a ver!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, então:

e x + 2 = ∑ n = 0 ∞ x + 2 n n !

Eu te falei!!! Olha só como está parecido. Só falta o n + 3 !

Para fazer isso, vamos substituir n por n + 3 . Não esqueça de acertar o intervalo ali no somatório:

e x + 2 = ∑ n = - 3 ∞ x + 2 n + 3 ( n + 3 ) !

Passo 3

Mas po, ele só tá diferente do nosso por causa daquele ( x + 2 ) ³ ali. Então se a gente tirar esse x + 2 3 do somatório (e a gente pode fazer isso porque essa parcela não depende de n ) ficamos com o que queremos:

e x + 2 = x + 2 3 ∑ n = - 3 ∞ x + 2 n ( n + 3 ) !

e x + 2 x + 2 3 = ∑ n = - 3 ∞ x + 2 n ( n + 3 ) !

NOSSAAAAA!! Tá muito parecido! Só falta consertarmos aquele n = - 3 no somatório. Para isso, é só tirar esses termos do somatório, aplicando valores até chegarmos em n = 0

e x + 2 x + 2 3 = x + 2 - 2 - 2 + 3 ! + ∑ n = - 2 ∞ x + 2 n n + 3 !

e x + 2 x + 2 3 = x + 2 - 3 - 3 + 3 ! + x + 2 - 2 - 2 + 3 ! + ∑ n = - 1 ∞ x + 2 n n + 3 !

e x + 2 x + 2 3 = x + 2 - 3 - 3 + 3 ! + x + 2 - 2 - 2 + 3 ! + x + 2 - 1 - 1 + 3 ! + ∑ n = 0 ∞ x + 2 n n + 3 !

Passo 4

Olha ali! Nosso somatório finalmente apareceu perfeitinho! Agora só precisamos isolá-lo e simplificar os termos:

∑ n = 0 ∞ x + 2 n n + 3 ! = e x + 2 x + 2 3 - x + 2 - 3 0 ! - x + 2 - 2 1 ! - x + 2 - 1 2 !

∑ n = 0 ∞ x + 2 n n + 3 ! = e x + 2 x + 2 3 - 1 x + 2 3 - 1 x + 2 2 - 1 2 x + 2

∑ n = 0 ∞ x + 2 n n + 3 ! = 1 x + 2 3 e x + 2 - 1 - x + 2 - x + 2 2 2

Bizarro a gente ter que lembrar disso né?! Mas acontece direto, então fica esperto!

Resposta

e 1 x + 2 3 e x + 2 - 1 - x + 2 - x + 2 2 2

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