Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Passo 1

Para começar, vamos calcular as derivadas e procurar um padrão.

f ' x = - 6 x - 3 2

f ' ' ( x ) = - 6 - 2 x - 3 3

f ' ' ' ( x ) = - 6 - 2   .   - 3 x - 3 4

f ' ' ' ' ( x ) = - 6 - 2   .   - 3   . - 4 x - 3 5  

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Passo 2

Estamos vendo um padrão, certo? Se aplicarmos no ponto a = - 2 veremos mais ainda

f ' - 2 = - 6 - 5 2

f ' ' ( - 2 ) = - 6 - 2 - 5 3

f ' ' ' ( - 2 ) = - 6 - 2   .   - 3 - 5 4

f ' ' ' ' - 2 = - 6 - 2   .   - 3   . - 4 - 5 5

Sabemos que o padrão tem um - 6 multiplicando e um ( - 5 ) k + 1 dividindo. Dá pra perceber que tem um k ! na parte de cima, mas ainda falta resolver um problema com os sinais que não está claro. Vamos pensar no nosso padrão assim:

f k - 2 = - 6 - 1 k - 1 k ! - 1 k + 1 5 k + 1

Aí, cortando os termos - 1 ficamos com

f k - 2 = - 6 k ! 5 k + 1

Só tem um detalhe, esse padrão que encontramos não inclui o termo f ( - 2 ) , se aplica apenas às derivadas, então, quando formos gerar a série, devemos tirar o termo k = 0 do somatório.

f - 2 = - 2 + 3 - 2 - 3 = - 1 5

Passo 3

Beleza! Agora encontramos a nossa expressão para f k vamos aplica-la na série de Taylor em a = - 2 .

x + 3 x - 3 = - 1 5 + ∑ k = 1 ∞ f k - 2 ( x + 2 ) k k !

x + 3 x - 3 = - 1 5 + ∑ k = 1 ∞ - 6 k ! 5 k + 1 ( x + 2 ) k k !

x + 3 x - 3 = - 1 5 - 6 ∑ k = 1 ∞ ( x + 2 ) k 5 k + 1

Passo 4

Vamos fazer o teste da razão para determinar o raio de convergência. Lembra dele? Temos que aplicar o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k = L

Onde R = 1 / L . Vamos aplicar isso no problema:

c k = - 6 5 k + 1

c k + 1 = - 6 5 k + 2

Então, temos o seguinte limite:

lim k → ∞ ⁡ - 6 5 k + 2   . 5 k + 1 - 6 =

= lim k → ∞ ⁡ 1 5 = 1 5 = L

Como R = 1 / L , temos:

R = 5

Resposta

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