Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Séries de Taylor

Encontre a representação em série de potências em torno de x 0 = 0 para a função:

f x = ∫ 0 x sen ⁡ t 2 d t

Passo 1

Esquece a integral por enquanto! Foca no que da dentro dela!

Bem, a gente não sabe a série de Taylor para sen ⁡ t 2 , mas calma, para a sen ⁡ t a gente sabe, vimos que é:

sen ⁡ t = = t - t 3 3 ! + t 5 5 ! - t 7 7 ! …

E tem raio de convergência R = ∞

Então se fizermos sen ⁡ t 2

sen ⁡ t 2 = t 2 - t 2 3 3 ! + t 2 5 5 ! - t 2 7 7 ! …

Assim ficou:

sen ⁡ t 2 = t 2 - t 6 3 ! + t 10 5 ! - t 14 7 ! …

Opa, percebe que esse cara começa em t 2 e o expoente vai sempre aumentando em 4 , o denominador é sempre o fatorial da metade desse expoente e a série é alternada. Podemos escrever então:

∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 + 4 n 2 + 4 n 2 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 + 4 n 1 + 2 n ! = sen ⁡ t 2  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então ok, conseguimos escrever em série de potência o que tá dentro da integral! Agora vamo usar a propriedade de integração termo a termo:

f x = ∫ 0 x sen ⁡ t 2 d t = ∫ 0 x ∑ n = 0 ∞ - 1 n t 2 + 4 n 1 + 2 n ! d t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 + 2 n ! ∫ 0 x t 2 + 4 n d t = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 + 2 n ! t 3 + 4 n ( 3 + 4 n ) = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 + 2 n ! x 3 + 4 n ( 3 + 4 n )

Finish!

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 + 2 n ! x 3 + 4 n ( 3 + 4 n )

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