Use uma série de potências para aproximar a integral ∫ 0 0.5 c o s   x 2 d x . (Explique detalhadamente como determinou a série).

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Precisamos achar uma aproximação em série do potências do integrando da seguinte integração

∫ 0 0.5 c o s   x 2 d x

e, utilizar este resultado para obtermos uma aproximação de seu valor! Mas como faremos isso? Nós podemos utilizar a definição de uma série de Maclaurin dada por

f ( x ) ≈ ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( d n f ( x ) d x n ) | x = 0 x n

obtendo uma aproximação como uma soma de polinômios! Mas, por simplicidade, vamos fazer os cálculos para uma função mais simples, e então adaptar o resultado para a função desejada! Vem comigo!

Passo 2

Vamos trabalhar em encontrar a série de Maclaurin da seguinte função

g ( x ) = c o s ( x )

e através da série desta função, obter a que desejamos! Belezinha? Primeiro, vamos calcular cada um dos coeficientes, temos que para n = 0 , obtemos

a 0 = c o s ( 0 ) = 1

da mesma forma, para n = 1 , temos agora

a 1 = d d x [ c o s ( x ) ] | x = 0

como temos que a derivada de cosseno é

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

Podemos obter que

a 1 = - s e n ( 0 ) = 0

Vamos continuar repetindo este processo! Temos que para n = 2 , precisamos calcular

a 2 = d 2 d 2 x [ c o s ( x ) ] | x = 0 = d d x [ d d x [ c o s ( x ) ] ] | x = 0

Acabamos de calcular que d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x ) , e usando que

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

Obtemos que

a 2 = - c o s ( 0 ) = - 1

A ideia é calcular alguns outros termos e tentar identificar uma relação entre eles! Pelo que obtive até agora, parece que teremos uma alternância de sinal, e a existência de apenas coeficientes pares! Mas vamos abrir mais alguns para garantir!

Passo 3

Com n = 3 precisaremos calcular

a 3 = d 3 d x 3 [ c o s ( x ) ] | x = 0

Como já calculamos a primeira e a segunda derivada, precisamos apenas derivar novamente o resultado d d x [ - s e n ( x ) ] = - c o s ( x ) , que nos leva à

a 3 = d 3 d x 3 [ c o s ( x ) ] | x = 0 = d d x [ - c o s ( x ) ] | x = 0

ou, simplesmente,

a 3 = s e n ( 0 ) = 0

Note que o a 4 terá sinal positivo, e o a 5 será nulo, ou seja, sempre teremos o valor 1 para todo coeficiente, apenas os coeficientes pares são não-nulos, e eles alternam o sinal! Portanto, temos que

c o s ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 m ! x 2 m

O n = 2 m garante que para todo m tenhamos apenas os valores pares, e ( - 1 ) m dá a alternância de sinal desejada! Então essa é a série de potências para o cosseno! No entanto, não era ela que queríamos, certo? Vamos mexer nisso um pouco agora!

Passo 4

A função que queremos expandir é a seguinte

c o s ( x 2 )

note que a única diferença é que calculamos para c o s ( x ) e não c o s ( x 2 ) ! Desta forma a única mudança que precisamos fazer é substituir em nossa série x por x 2 , obtendo que

c o s ( x 2 ) = �� m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 m ! ( x 2 ) 2 m

que pode ser simplificado como

c o s ( x 2 ) = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 m ! x 4 m

No próximo passo podemos agora expandir alguns termos para resolvermos a nossa integral! Vamos lá!

Passo 5

Vamos expandir até a quarta ordem, temos que

c o s ( x 2 ) = ∑ m = 0 ∞ ( - 1 ) m 2 m ! x 4 m = ( - 1 ) 0 2 ( 0 ) ! x 4 ( 0 ) + ( - 1 ) 1 2 ( 1 ) ! x 4 ( 1 ) + 𝓞 ( 5 )

Ou, simplesmente

c o s ( x 2 ) = 1 - 1 2 x 4 + 𝓞 ( 5 )

Substituindo em nossa integração, temos que

∫ 0 0.5 c o s   x 2 d x ≈ ∫ 0 0.5 [ 1 - 1 2 x 4 ] d x = ∫ 0 0.5 d x - 1 2 ∫ 0 0.5 x 4 d x

Agora é só resolver as integrais mais simples que obtivemos! Vamos lá!

Temos que estas integrais podem ser obtidas através da primitiva

∫ a b x n d x = 1 n + 1 [ x n + 1 ] | a b = 1 n + 1 [ b n + 1 - a n + 1 ]

com n = 0 , obtemos a seguinte integral

∫ 0 0.5 d x = 1 0 + 1 [ x 0 + 1 ] | 0 0.5 = [ 0.5 - 0 ] = 0.5

e, para n = 4 , temos que

∫ 0 0.5 x 4 d x = 1 4 + 1 [ x 4 + 1 ] | 0 0.5 = 1 5 [ 0 . 5 5 - 0 5 ] = 0,0625

Ou seja, a nossa integral é simplesmente

∫ 0 0.5 c o s   x 2 d x ≈ 0.5 - 1 2 ( 0,0625 ) ≈ 0,469

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ 0 0.5 c o s   x 2 d x ≈ 0,469

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