Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

Questão 9: Seja f x a função definida por

f x = 1                           s e                 x = 0                   ln ⁡ 1 + x x                 s e                 x ≠ 0 ,             x > - 1

Se ∑ n = 1 ∞ a n x n é a série de Taylor de F x = ∫ 0 x f t d t em torno do ponto 0 , podemos afirmar que:

  1. a n = - 1 n + 1 n 2       e       F 1 2 < 1 2
  2. a n = - 1 n + 1 n       e       F 1 2 < 1 2
  3. a n = - 1 n + 1 n + 1       e       F 1 2 < 1 2
  4. a n = - 1 n + 1 n 2       e       F 1 2 > 1 2
  5. a n = - 1 n + 1 n + 1       e       F 1 2 > 1 2

Passo 1

Então, já é manjado por nós, que a série de Taylor de uma função F x , representa essa função nos pontos em que x converge. Em outras palavras, podemos dizer isso daqui com relação à série de Taylor de uma função F x :

∑ n = 1 ∞ a n x n = F x

Ou seja:

∑ n = 1 ∞ a n x n = ∫ 0 x f t d t

Beleza! Mas e aí? Bem, eu não sei você, mas ao ver essa integral, me deu uma vontade de deririvar kkk. Afinal de contas, na derivada, a integral desaparece . Derivando então de ambos os lados...

d d x ∑ n = 1 ∞ a n x n = d d x ∫ 0 x f t d t

De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, temos que:

d d x ∫ 0 v x f t d t = v ' x ⋅ f x

Como v x = x no nosso caso...

d d x ∑ n = 1 ∞ a n x n = f x

Por último, derivando esse outro lado aí (a série)...

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = f x

Tá, mas agora? Bem, agora, sabemos quem é f x :

ln ⁡ 1 + x x ,         p a r a       x > - 1         e         x ≠ 0

Então...

∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 = ln ⁡ 1 + x x

Basta agora encontrar uma representação em série para esse termo do lado direito e comparar os dois, saca? Assim a gente descobre quem é o a n . Bora lá então?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Veja bem, sabemos que:

f x = ln ⁡ 1 + x x

Então podemos encontrar a derivada desse carinha simplesmente aplicando a regra de derivada de fração...

f ' x = x 1 + x - ln ⁡ 1 + x x 2 =

- ln ⁡ 1 + x x 2 + 1 x 1 + x

Agora olha que massa, se a gente separar o 1 / x aí...

f ' x = 1 x ⋅ 1 1 + x - 1 x ⋅ ln ⁡ 1 + x x

Quem é esse amiguinho daqui ln ⁡ 1 + x x ? É a própria f x , right? Colocando como série...

f ' x = 1 x ⋅ 1 1 + x - 1 x f x   →

f ' x = 1 x ⋅ 1 1 + x - 1 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Agora, quem é 1 1 + x em termos de série também? Poxa, basta comparar com a série geométrica:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Ou seja:

1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ - x n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n

Logo, concluímos que a derivada de f x é...

f ' x = 1 x ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n - 1 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Agora, quem é a derivada em termos de série? Poxa, sabemos quem é a f x em termos de série:

f x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Derivando mais uma vez então...

f ' x = ∑ n = 1 ∞ n - 1 n a n x n - 2

Finalmente, podemos substituir na antepenúltima equação, onde a gente vai ganhar isso daqui:

∑ n = 1 ∞ n - 1 n a n x n - 2 = 1 x ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n - 1 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

Basicamente, o que temos que fazer agora é simplificar essas três séries de forma a encontrar o a n , vamos nessa?

Passo 3

Vamos começar tal simplificação, primeiro lembrando que podemos passar essa divisão por x para dentro da série:

∑ n = 1 ∞ n - 1 n a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n x - ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 x   →

∑ n = 1 ∞ n - 1 n a n x n - 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n - 1 - ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 2

Bem, pra gente colocar essas duas séries do lado direito dentro de uma única, primeiro temos que mudar o n - 1 em cima do x para n - 2 (pra ficar a mesma coisa que a outra série, saca?). Para fazer isso, basta colocar um - 1 na frente de todo n ...

∑ n = 1 ∞ n - 1 n a n x n - 2 = ∑ n - 1 = 0 ∞ - 1 n - 1 x n - 1 - 1 - ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 2   →

∑ n = 1 ∞ n - 1 n a n x n - 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x n - 2 - ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 2

Agora sim podemos colocar essas duas séries dentro de uma só:

∑ n = 1 ∞ n - 1 n a n x n - 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - n a n x n - 2

Para essas duas séries serem iguais esses dois termos dos colchetes devem ser iguais também:

n - 1 n a n = - 1 n - 1 - n a n   →

n - 1 n a n + n a n = - 1 n - 1 →

Simplificando...

n 2 a n = - 1 n - 1   →

a n = - 1 n - 1 n 2

Na resposta não tem isso daí, mas tem isso daqui:

a n = - 1 n + 1 n 2

Que no fundo é a mesma coisa, afinal - 1 n - 1 = - 1 n + 1 quer ver só:

n = 1     →           - 1 0 = - 1 2 = 1

n = 2     →           - 1 1 = - 1 3 = - 1

E assim vai para qualquer outro n , saca? De fato...

a n = - 1 n + 1 n 2

Passo 4

Beleza, então temos que verificar apenas a outra condição, não é mesmo? Quem é o F 1 2 ?

Conhecendo o a n , a gente também conhece uma expressão para em série para F x como vimos lá no passo 1 :

∑ n = 1 ∞ a n x n = F x     →

F x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 x n

Substituindo o x por 1 / 2 ...

F 1 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 n 2 1 2 n =

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n n 2

Se a gente desembrear essa série aí, vamos ter o seguinte...

- 1 2 2 1 ⋅ 1 2 + - 1 3 2 2 ⋅ 2 2 + - 1 4 2 3 ⋅ 3 2 + … + - 1 n + 1 2 n n 2 + …

Simplificando esses termos aí, vamos ganhar:

1 2 - 1 16 + 1 72 + … + - 1 n + 1 2 n n 2 + …

Perceba então que estamos sempre somando e subtraindo termos cada vez menores em módulo. Os dois maiores em módulo são 1 2 e - 1 16 , mas a soma dos dois é menor que 1 / 2 . Assim, assim, qualquer outro termo que somamos ou subtraímos vai ser cada vez menor fazendo que a série sempre chega perto de 1 / 2 , mas nunca maior, afinal de contas afinal de contas o maior termo presente nessa soma é o ½ , saca?

Logo a resposta correta é a letra...

a

Resposta

a n = - 1 n + 1 n 2       e       F 1 2 < 1 2

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