Determine uma representação por s��ries de potências para f ( x ) = x 2   e - x . Utilize a série de Maclaurin em sua resolução, explique detalhadamente como ela foi utilizada.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Esta questão quer que determinemos uma série de potências para a seguinte função

f ( x ) = x 2   e - x

usando uma série de Maclaurin. É basicamente isso! Mas como fazer isso? A série de Maclaurin é definida como

f ( x ) ≈ ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( d n f ( x ) d x n ) | x = 0 x n

É bem parecida com a série de Taylor, mas com x 0 = 0 . Ou seja, precisamos calcular várias derivadas para identificar uma expressão geral para a série! Mas tem uma forma de facilitar as nossas derivadas, vem comigo!

Passo 2

Vamos trabalhar em encontrar a série de Maclaurin da seguinte função

g ( x ) = e x

e através da série desta função, obter a que desejamos! Belezinha? Primeiro, vamos calcular cada um dos coeficientes, temos que para n = 0 , obtemos

a 0 = e 0 = 1

da mesma forma, para n = 1 , temos agora

a 1 = d d x [ e x ] | x = 0

como temos que a derivada da exponencial é a própria exponencial

d d x [ e x ] = e x

Podemos obter que

a 1 = e 0 = 1

Note que isso irá se repetir, sempre obtendo o valor 1 para todos coeficientes, portanto, temos que a série de Maclaurin a função exponencial é simplesmente

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n

Claro, não é isso que estamos querendo, mas a partir desta podemos construir o que desejamos! Vamos lá!

Passo 3

O que queremos é a expansão em série de potências da função

f ( x ) = x 2   e - x

temos algumas diferenças entre esta função e e x , primeiro, temos que ao invés de x temos - x , além de termos um x 2 multiplicando. Vamos fazer estas mudanças e ver o que obtemos! Primeiro, colocando que - x no lugar de x , temos

e - x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ( - x ) n

Podemos separar ( - x ) n como ( - 1 ) n x n , ou seja, ganhamos um termo que indica a alternância de sinal dos coeficientes, temos que

e - x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n ! x n

E se agora multiplicarmos os dois lados por x 2 ? Nós obtemos que

x 2   e - x = x 2 ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n ! x n

Como a somatória é em n podemos simplesmente entrar com x 2 , e usando que x 2 x n = x 2 + n , temos finalmente que

x 2   e - x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n ! x 2 + n

Essa é a nossa expansão em série de potências! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau|

Resposta

x 2   e - x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n ! x 2 + n

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