Expresse em séries de potências e explicite os 3 primeiros termos não nulos de

f x = x 2 e 2 x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você a resolver! O problema nos deu uma função f ( x ) :

f x = x 2 e 2 x

E pediu para expressar essa função em série de potência e explicitar os 3 primeiros termos não nulos dela. Vamos começar pelo começo: o que é uma série de potências?

Série de potências é uma série (a representação é uma expressão de termo geral a n dentro de um somatório Σ – em função de um inteiro positivo n ) que envolve potências de x !

Em outras palavras: é um polinômio escrito de forma condensada em um somatório

∑ n = 0 ∞ c n x n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + …

Esse polinômio tem infinitos termos! Uma parte muito importante são os coeficientes! Quando a série de potências representa uma função f ( x ) , os coeficientes são os ‘pesos’ de cada termo com potência de x . Podemos representar qualquer função cabeluda por série de potências de x !

E é isso que essa questão pede! Embora essa função pareça simpática, integrar e/ou calcular seu valor pode ser um desafio! E é essa uma das facilidades da representação em séries: poder integrar, derivar, calcular o valor em um ponto de forma muito mais simples =)

Mas o que queremos aqui é apenas a representação! E para algumas funções-chave nós já conhecemos sua representação em série de potência, e a exponencial é uma delas!

A ideia aqui é a seguinte: a partir da série de potências da exponencial, ir, aos poucos, construindo a função f ( x ) em séries de potência.

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você! Vamos começar?

Passo 2

A função que queremos representar em séries é:

f x = x 2 e 2 x

Podemos começar simplificando um pouco essa função: passar aquele denominador para cima, assim teremos uma função em termos de uma exponencial (lembra que sabemos a série da função exponencial)

f x = x 2 e - 2 x

Tudo bem até aqui?

A série de potências para a exponencial e u é:

e u = ∑ n = 0 ∞ u n n !

Mas o argumento da nossa exponencial é ( - 2 x ) , então a série que representa e - 2 x vai ser assim

e - 2 x = ∑ n = 0 ∞ ( - 2 x ) n n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x n n !

Já separei os termos que estão elevados na n para facilitar, mais além você vai entender!

Passo 3

Agora a ideia é ir montando a função! E nossa função tem um x 2 multiplicando a exponencial!

Então vamos multiplicar a série que achamos por x 2 :

e - 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x n n !

x 2 e - 2 x = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x n n !

Como temos outra potência de x dentro do somatório, podemos juntar os dois, passando x 2 para dentro da soma:

x 2 e - 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x n + 2 n !

E está aí nossa série de potências!

Passo 4

Mas o problema pede os três termos não nulos dela! Então precisamos encontrar os três primeiros termos da série!

Nós encontramos isso variando o n , a partir do primeiro termo, depois somando +1

Para achar o segundo e depois +2 para o terceiro.

Nossa série é a seguinte:

∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n x n + 2 n !

Ela começa em 0, então o primeiro termo da série é com n = 0

- 1 0 2 0 x 0 + 2 0 ! = x 2

O segundo termo da série é com n = 1 :

- 1 1 2 1 x 1 + 2 1 ! = - 2 x 3

E o terceiro termo é fazendo n = 2 :

- 1 2 2 2 x 2 + 2 2 ! = 4 x 4 2 = 2 x 4

Assim os três primeiros termos da série são:

f x = x 2 - 2 x 2 + 2 x 4

Beleza?

Então é isso! Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

f x = x 2 - 2 x 2 + 2 x 4

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