Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.2 - 4

Ache a expansão em série de potências f x = e x + e - x 2 em torno de x = 0 .

Passo 1

Sabemos que representamos a série de Taylor da função g x = e x como:

g x = n = 0 x n n !

E analogamente, a série de Taylor pra h x = e - x será:

h x = n = 0 - 1 n x n n !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pelo fato de as séries não convergirem individualmente, ou seja, seus raios de convergência valem infinito, podemos escrever a função f x da seguinte maneira, em termos de g x e h x :

f x = g x + h x 2

E então, teremos:

f x = 1 2 n = 0 1 n ! x n + - 1 n x n

Repare que a expansão só terá termos com n par!! Pois se n for ímpar, o termo é nulo, visto que haverá um termo x n - x n = 0 .

Portanto, se fizermos n = 2 k a expansão será:

1 2 k = 0 1 2 k ! 2 x 2 k = n = 0 x 2 k 2 k !

Resposta

k = 0 x 2 k 2 k !

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