Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2013.2, Questão 4

Ache a expansão em série de potências

f x = e x + e - x 2 em torno de x = 0 .

Passo 1

Vamos começar expandindo a exponencial em série de Taylor. Usando a forma geral, considerando g x = e x :

g x = g 0 + g ' 0 1 ! x + g ' ' 0 2 ! x 2 + + g n 0 n ! x n

Como g ' x = e x = g x , teremos:

g 0 = g ' 0 = g ' ' 0 = = g n 0 = 1

Ficando:

g x = 1 + 1 1 ! x + 1 2 ! x 2 + + 1 n ! x n = n = 0 x n n !

E analogamente, a série de Taylor pra h x = e - x será:

h x = n = 0 - 1 n x n n !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pelo fato de as séries não convergirem individualmente, ou seja, seus raios de convergência valem infinito, podemos escrever a função f x da seguinte maneira, em termos de g x e h x :

f x = g x + h x 2

E então, teremos:

f x = 1 2 n = 0 1 n ! x n + - 1 n x n

Quando temos n impar, - 1 n = - 1 e ficamos com:

x n - x n = 0

Assim, só teremos o termos pares dessa nossa série. Para deixar isso claro no somatório, podemos escolher forçar um número sempre par com n = 2 k e substituir no nosso somatório:

f x = 1 2 n = 0 1 n ! x n + - 1 n x n = 1 2 k = 0 1 ( 2 k ) ! x 2 k + - 1 2 k x 2 k

Para número par - 1 2 k = 1 , ficando: x 2 k + x 2 k = 2 x 2 k

Ou seja:

f x = k = 0 x 2 k 2 k !

Resposta

f x = k = 0 x 2 k 2 k !

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