Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

USP, Cálculo 4, P2 - 2017, Questão 3b

Ache o valor aproximado da integral

0 1 cos x - 1 x 2 d x

Com um erro inferior a 10 - 3 .

Passo 1

Bom, estamos cansados de ver aproximação de valores através de séries de Taylor. Aqui não vai ser diferente. Primeiro, temos que escrever aquele cara na integral como série:

cos x = n = 0 - 1 n x 2 n 2 n ! , x R

cos x - 1 = n = 0 - 1 n x 2 n 2 n ! - 1 = n = 1 - 1 n x 2 n 2 n ! , x R

cos x - 1 x 2 = n = 1 - 1 n x 2 n - 2 2 n ! , x 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Maneiro! Então vamos reescrever nossa integral assim:

0 1 cos x - 1 x 2 d x = 0 1 n = 1 - 1 n x 2 n - 2 2 n ! d x = n = 1 0 1 - 1 n x 2 n - 2 2 n ! d x

n = 1 0 1 - 1 n x 2 n - 2 2 n ! d x = n = 1 - 1 n x 2 n - 1 2 n ! 2 n - 1 0 1 = n = 1 - 1 n ( 2 n - 1 ) 2 n !

Passo 3

Beleza, então queremos aproximar:

n = 1 - 1 n ( 2 n - 1 ) 2 n !

Isso já vimos como fazer:

n = 1 - 1 n 2 n - 1 2 n ! n = 1 k - 1 n 2 n - 1 2 n !

c o m   e r r o = n = k + 1 - 1 n 2 n - 1 2 n ! a k + 1 = 1 2 ( k + 1 ) - 1 2 ( k + 1 ) !

E estamos interessados em:

1 2 k + 1 - 1 2 k + 1 ! < 10 - 3

( 2 k + 1 ) 2 k + 2 ! > 10 3

Para k = 2

5.6 ! = 5.720 > 10 3

Portanto:

0 1 cos x - 1 x 2 d x n = 1 2 - 1 n 2 n - 1 2 n ! = - 1 2 + 1 3.4 ! = - 35 72

Com erro ϵ < 10 - 3 .

Resposta

0 1 cos x - 1 x 2 d x n = 1 2 - 1 n 2 n - 1 2 n ! = - 1 2 + 1 3.4 ! = - 35 72

Com erro ϵ < 10 - 3 .

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