Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

UFRJ, Cálculo 4, PF - 2015.2, Questão 3b

Considere a função f , definida pela série de potências

f x = n = 1 - 1 n x - 1 n n 3 n

b) Calcule o valor de f 5 1 (derivada de ordem 5 da função f em x = 1 )

Passo 1

b)

Para descobrirmos essa derivada, vamos igualar os termos dessa série de potência com a série de Taylor.

Primeiro, vamos perceber que

Pelo Teorema de Taylor, temos que a série de Taylor em torno de x = 1 vai ser

f x = n = 0 + f n ( 1 ) x - 1 n n !

Bom, como a série do problema começa com n = 1 , vamos abrir a fórmula de Taylor para ficar mais fácil de comparar

f x = n = 0 + f n ( 1 ) x - 1 n n ! = f 0 ( 1 ) x - 1 0 0 ! + n = 0 + f n ( 1 ) x - 1 n n !

f x = n = 0 + f n ( 1 ) x - 1 n n ! = f 1 + n = 1 + f n ( 1 ) x - 1 n n !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos comparar essa fórmula de Taylor com a fórmula da série de potência.

f 1 + n = 1 + f n 1 x - 1 n n ! = f x = n = 1 - 1 n x - 1 n n 3 n

Podemos perceber então que

f 1 = 0

E

f n 1 n ! = - 1 n n 3 n

Ele quer o coeficiente em n = 5 , assim

f 5 1 5 ! = - 1 5 5 3 5

f 5 1 =   - 8 81

Resposta

f 5 1 =   - 8 81

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas