Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2015.1, Questão 2

Considere a série de potências:

f x = n = 1 n + 1 2 n 3 x - 2 n  

(a) Determine o intervalo de convergência dessa série de potências.

(b) Determine f 7 ( 2 ) , isto é, a derivada de ordem 7 da função f em x = 2 .

Passo 1

  1. Olhando para série de potências vemos que
  2. a n = n + 1 2 n 3

    Portanto pelo teste da razão temos que

    lim n a n + 1 a n = lim n n + 2 2 n + 1 3 n + 1 2 n 3 = lim n n + 2 2 n + 1 3 n 3 n + 1 2 = lim n n + 2 2 n + 1 2 n 3 n + 1 3 =

    = lim  n n 3 n + 2 2 n + 1 5   = lim n n 5 1 + 2 n 2 n 5 1 + 1 n 5 = lim n 1 + 2 n 2 1 + 1 n 5 = 1 = L

    Lembrando que:

    L = 1 R

    Logo o raio de convergência é R = 1

    Passo 2

    Para achar o intervalo de convergência fazemos

    x - 2 < 1 - 1 < x - 2 < 1 1 < x < 3

    Portanto sabemos que no intervalo aberto ( 1,3 ) a série de potências converge.

    Passo 3

    Agora vamos testar os extremos:

    Para x = 1 :

    f 1 = n = 1 n + 1 2 n 3 - 1 n

    Pelo critério das séries alternadas, temos que:

    lim n n + 1 2 n 3 = lim n n 2 1 + 1 n 2 n 3 = lim n 1 + 1 n 2 n = 0

    E

    b n + 1 = n + 2 2 n + 1 3 n + 1 2 n 3 = b n

    Logo a série converge.

    Passo 4

    Para x = 3 :

    f 3 = n = 1 n + 1 2 n 3 = n = 1 1 + 1 n 2 n

    Mas, por comparação, temos que

    1 + 1 n 2 n > 1 n

    E como é sabido que a série n = 1 1 n   diverge, temos que a série de potências acima não converge para x = 3 .

    Então o intervalo de convergência é:

    1,3

    Passo 5

  3. Sabemos da série de potências que

a n = n + 1 2 n 3

E

a n = f n 2 n !

Como queremos a sétima derivada de f , é só fazer n = 7 na formula acima e ficamos com:

a 7 = f 7 2 7 ! = 7 + 1 2 7 3 = 64 343

f 7 2 = 64 343 5040 = 322560 343

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Resposta

  1. 1,3  
  2. f 7 2 = 322560 343

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