Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

UFRJ, Cálculo 4, PF - 2015.1, Questão 2

Considere a série de potências

f x = m = 0   x - 2 m 3 m m + 1

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.

Encontre f 5 ( 2 ) (a derivada de ordem 5 da função f em x = 2 ).

Passo 1

Primeiro observamos que esta é uma série de Taylor em torno de x 0 = 2 , com termo geral

a m = x - 2 m 3 m m + 1

de modo que

f x = m = 0   a m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, aplicando o Teste da Razão:

a m + 1 a m = x - 2 m + 1 3 m + 1 m + 2 . 3 m m + 1 x - 2 m

a m + 1 a m = x - 2 3 . m + 1 m + 2

Portanto,

lim m a m + 1 a m = lim m x - 2 3 m + 1 m + 2

lim m a m + 1 a m = x - 2 3

De modo que este limite deve ser inferior a 1 para que a série seja absolutamente convergente:

x - 2 3 < 1 x - 2 < 3

Passo 3

Da inequação acima, garantimos que o raio de convergência é R = 3 e que a série é absolutamente convergente em ( - 1,5 ) e divergente em - , - 1   ( 5 , ) .

Falta testar os extremos x = - 1 e x = 5 . No primeiro caso, temos:

f - 1 = m = 0   - 3 m 3 m m + 1 = m = 0   - 1 m 3 m 3 m m + 1 m = 0   - 1 m m + 1

Esta série é alternada. Para saber se ela converge ou não precisamos ver se o termo geral, sem o sinal, vai para 0 e se esse mesmo termo geral é decrescente. O termo geral vai ser

b m = 1 m + 1

Começando com o limite, vamos ter

lim m b m = lim m 1 m + 1 = 1 = 0

Para ver que ela é decrescente, neste caso, é tranquilo. Repara que o denominador vai aumentando a medida que m aumenta, assim ele vai ser decrescente.

Pelo teste da série alternada essa série converge para x = - 1

Passo 4

Para x = 5 :

f 5 = m = 0   3 m 3 m m + 1

f 5 = m = 0   1 m + 1

Ou, podemos reescrever:

f 5 = m = 1   m - 1 2

Esta é uma p-série com p = - 1 2 > - 1 e, portanto, é divergente.

Assim, concluímos que o intervalo de convergência é I C = [ - 1,5 ) .

Passo 5

Para achar essa derivada temos que comparar a nossa série com a série de Taylor de f x .

Temos que escolher um ponto para a série de Taylor. Repara que a série que ele deu tem x - 2 , além disso ele também quer a derivada em 2 . Isso são dois indicativos que temos que fazer em torno de 2 . Assim nossa série de Taylor vai ficar

f x = n = 0 f n 2 x - 2 n n !

Isso nos diz que, aquele somatório do início vai ser igual a nossa série de Taylor

m = 0   x - 2 m 3 m m + 1 = n = 0 f n 2 x - 2 n n !

Repara que os expoentes de x - 2 nos dois somatórios são iguais, assim se eu fizer m = 1 , o termo igual na série de Taylor vai acontecer em n = 1 , e por aí vai. Isso nos diz que os termos gerais são iguais. Cuidado, nem sempre vai ser igual. Vamos deixar tudo com o mesmo índice fazendo m = n

x - 2 n 3 n n + 1 = f n 2 x - 2 n n !

Assim, temos

1 3 n n + 1 = f n 2 n !

Podemos dizer então que a derivada n vai ser

f n 2 = n ! 3 n n + 1

Como ele quer a derivada 5 , o n vai ser 5

f 5 2 = 5 ! 3 5 5 + 1 = 5 ! 3 5 6

Resposta

R = 3

I C = - 1,5

f 5 2 = 5 ! 3 5 6

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas