Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2018.2, Questão 2a

Determine a série de Taylor centrada no ponto x 0 = π / 6 das funções:

  1. f x = sen x
  2. f x = cos x

Passo 1

Ok, vamos começar pela letra (a). Queremos a série de Taylor centrada em x 0 = π / 6 . Então, de forma geral vamos ter: f x = n = 0 f n π / 6 n ! x - π 6 n

Ou seja, vamos ter que calcular as derivadas f n π / 6 e achar um padrão para substituir na fórmula. Legal, então vamos fazer isso:

f x = f 0 x = sen x f π / 6 = sen π 6 = 1 2

f ' x = cos x f ' π / 6 = cos π 6 = 3 / 2

f ' ' x = - sen x f ' ' π / 6 = - sen π 6 = - 1 / 2

f ' ' ' x = - cos x f ' ' ' π / 6 = - cos π 6 = - 3 / 2

f 4 x = sen x f 4 π / 6 = sen π 6 = 1 2

Então, observando as derivadas, dá para ver que a derivada varia de - 1 / 2 e 1 / 2 para ordem par e - 3 / 2 e 3 / 2 para ordem ímpar:

f n π / 6 = - 1 k 1 2 ,     n   p a r - 1 k 3 2 ,       n   í m p a r

Portanto, vamos separar nossa série em duas para poder representar. Uma com termos pares n = 2 k e outra com termos ímpares n = 2 k + 1 :

f x = n = 0 f n π 6 n ! x - π 6 n

= k = 0 - 1 k 1 2 2 k ! x - π 6 2 k + k = 0 - 1 k 3 2 2 k + 1 ! x - π 6 2 k + 1

= 1 2 k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k + 3 2 k = 0 - 1 k 2 k + 1 ! x - π 6 2 k + 1

Um ponto importante é que temos - 1 k e não - 1 2 k ou - 1 2 k + 1 justamente para manter a característica de alternância de sinal. 😉

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

OK, vamos para a letra (b) agora. Poderíamos ir no embalo aqui e fazer a conta toda de novo, mas não é necessário. O bizu aqui é ver que

cos x = sen x '

Então, pelo item anterior, vamos ter: f x = cos x = 1 2 k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k + 3 2 k = 0 - 1 k 2 k + 1 ! x - π 6 2 k + 1 '

Então vamos derivar isso aí. Só derivar o polinômio como se não tivéssemos um somatório: 1 2 k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k + 3 2 k = 0 - 1 k 2 k + 1 ! x - π 6 2 k + 1 ' =

1 2 k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k ' + 3 2 k = 0 - 1 k 2 k + 1 ! x - π 6 2 k + 1 '

Olhando para cada derivada, vamos ter: k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k ' = k = 0 - 1 k 2 k ! 2 k x - π 6 2 k - 1

= k = 0 - 1 k 2 k - 1 ! x - π 6 2 k - 1

k = 0 - 1 k 2 k + 1 ! x - π 6 2 k + 1 ' = k = 0 - 1 k 2 k + 1 ! 2 k + 1 x - π 6 2 k

k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k = k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k

Assim, nossa série vai ser:

f x = cos x = 1 2 k = 0 - 1 k 2 k - 1 ! x - π 6 2 k - 1 + 3 2 k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k

Resposta

  1. sen x = 1 2 k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k + 3 2 k = 0 - 1 k 2 k + 1 ! x - π 6 2 k + 1
  2. cos x = 1 2 k = 0 - 1 k 2 k - 1 ! x - π 6 2 k - 1 + 3 2 k = 0 - 1 k 2 k ! x - π 6 2 k

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