Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, São Paulo: CENGAGE learning, 2010, pp. 709, exercício 7 (adaptado)

Encontre a Série de Taylor de f ( x ) em torno do ponto a = 0 . [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R n ( x ) 0 .] Também encontre o raio de convergência associado.

f x = cos x

Passo 1

Vamos calcular as derivadas de f ( x ) e procurar um padrão.

f ' x = - sen x

f ' ' x = - cos x

f ' ' ' x = sen x

f ' ' ' ' x = cos x  

Logo, podemos escrever o seguinte:

f 2 n = - 1 n cos x

f 2 n + 1 = - 1 n + 1 sen x

Temos, portanto, expressões diferentes para índices pares e ímpares.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos, agora, montar a Série de Taylor.

Para a série em torno de zero, temos:

cos x = n = 0 f n 0 x n n !

Precisamos substituir as expressões que encontramos para a derivada. Repare:

f 2 n 0 = - 1 n cos 0 = - 1 n

f 2 n + 1 0 = - 1 n + 1 sen 0 = 0

Assim, restam apenas os índices pares. Reescrevendo a série para os índices ( 2 n ) , temos:

cos x = n = 0 f 2 n 0 x 2 n ( 2 n ) !

Substituindo a expressão da derivada:

cos x = n = 0 - 1 n x 2 n ( 2 n ) !

Passo 3

Vamos, então, calcular o raio de convergência, pelo Teste da razão. Na forma simplificada para séries de potências temos:

c n = - 1 n ( 2 n ) !

Então

lim n c n + 1 c n = lim n - 1 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! × 2 n ! - 1 n = lim n - 1 n + 1 ( 2 n + 2 ) ! × 2 n ! - 1 n

= lim n - 1 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) = 0 = L

Como R = 1 / L , tomando a convenção que 1 / 0 = , temos R = .

Resposta

cos x = n = 0 - 1 n x 2 n 2 n !

R =

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas