Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

USP, Cálculo 4, P3 - 2016, Questão 2

Se f x = x 2 c o s ( 3 x ) então sua derivada de ordem 2016 no zero, f 2016 0 é:

a - 3 2016 2015.2016

b   3 2016 201 4 . 201 5

c - 3 201 4 2015.2016

d - 3 201 4 201 4 . 201 5

e   3 201 4 201 4 . 201 5

Passo 1

Bom, a maneira mais tranquila de resolver essa questão é escrever a nossa função em série!

Por quê? Porque já temos a Fórmula de Taylor que relaciona o termo geral de uma série com a derivada enésima dela, fazer isso é melhor do que ficar fazendo regra do produto infinitamente! Então vamos lá:

f x = x 2 c o s ( 3 x )

A representação do cos ( x ) em série é a seguinte:

cos x = n = 0 - 1 n x 2 n 2 n !

Então para representar c o s ( 3 x ) , vamos substituir x por 3 x na série:

cos 3 x = n = 0 - 1 n 3 x 2 n 2 n !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, já que escrevemos como série o termo cos 3 x , vamos voltar para f ( x ) :

f x = x 2 cos 3 x

f x = x 2 n = 0 - 1 n 3 x 2 n 2 n !

Passando o x 2 para dentro do somatório:

f x = n = 0 - 1 n 3 x 2 n x 2 2 n !

Vamos juntar os termos semelhantes:

f x +

* = n = 0 - 1 n 3 2 n x 2 n x 2 2 n !

f x = n = 0 - 1 n 3 2 n x 2 n + 2 2 n !

Passo 3

Agora temos a série de potências e temos que descobrir f ( 2016 ) ( 0 ) . Existe uma fórmula (Fórmula de Taylor) que relaciona o termo geral com a derivada:

f x = n = 0 c n ( x - a ) n

Onde a é o ponto onde a função está centrada. Então:

f n a = n ! c n

Olha o nosso caso:

f x = n = 0 - 1 n 3 2 n x 2 n + 2 2 n !

Perceba que na nossa função temos x 2 n + 2 . Então vamos apenas substituir na fórmula n por 2 n + 2 :

f 2 n + 2 a = ( 2 n + 2 ) ! c 2 n + 2

Outro ponto importante é que a função está centrada em a = 0 , então:

c 2 n + 2 = - 1 n 3 2 n 2 n !

Então:

f 2 n + 2 0 = 2 n + 2 ! - 1 n 3 2 n 2 n !

Podemos cortar os fatorais, pois 2 n + 2 ! = 2 n + 2 2 n + 1 2 n !

f 2 n + 2 0 = 2 n + 2 2 n + 1 2 n ! - 1 n 3 2 n 2 n !

f 2 n + 2 0 = 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) - 1 n 3 2 n

Passo 4

Vamos usar isso para obter f 2016 :

2 n + 2 = 2016

n = 1007

Substituindo na fórmula:

f 2 . 1007 + 2 0 = 2 . 1007 + 2 2 . 1007 + 1 - 1 1007 3 2 . 1007

Sabendo que - 1 1007 = - 1

f 2016 0 = 2 016 2015 - 1 3 2 014

f 2016 0 = - 3 2014 ( 2015 ) 2016

Resposta

c - 3 2014 2015.2016

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