Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

UFRJ, Cálculo 4, PF - 2018.2, Questão 2

Questão 2: considere a seguinte função

g x = 0 x 1 y 2 arctanh y 2 d y

  1. Encontre a série de Taylor em torno do zero desta função.
  2. Determine g 15 0 (a décima-quinta derivada da função g em x = 0 ).

Passo 1

a )

Bem, encontrar a série de Taylor dessa série pela definição está fora de condições já que não estamos trabalhando com expressões fáceis.

Mas percebe que podemos através do teorema fundamental do cálculo - TFC, podemos calcular a derivada dessa integral, e em seguida calcular a próxima derivada gerando um termo 1 1 - y 2 , termo esse que a gente sabe encontrar a série de Taylor. Depois, é só fazer o caminho inverso. Vamos nessa?

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Passo 2

Primeiro derivando a integral...

g x = 0 x 1 y 2 arctanh y 2 d y  

g ' x = 1 x 2 arctanh x 2 x '

g ' x = 1 x 2 arctanh x 2

Se a gente tomar h y = arctanh y e derivar:

h ' y = arctanh y '      

Derivando...

h ' y = 1 1 - y 2

Passo 3

Olha que maravilha essa função, pois a gente pode compara com essa série aqui:

1 1 - x = m = 0 x m

Substituindo x = y 2

1 1 - y 2 = m = 0 y 2 m = m = 0 y 2 m

Então Integrando para recuperar a h y ...

h ' y = m = 0 y 2 m    

h y = m = 0 y 2 m + 1 2 m + 1 + C

Essa constante de integração aí some, pois h 0 ...

h 0 = m = 0 0 + C = arctanh 0 =

0

Então C = 0 , saca?

h y = m = 0 y 2 m + 1 2 m + 1

Como

g ' x = 1 x 2 h x 2 =

1 x 2 m = 0 x 2 2 m + 1 2 m + 1 =

m = 0 x 4 m + 2 x - 2 2 m + 1 =

m = 0 x 4 m 2 m + 1

Passo 4

Agora vamos integrar a g ' e voltar para a função g :

g ' x = m = 0 x 4 m 2 m + 1    

Integrando...

g x = m = 0 1 2 m + 1 x 4 m + 1 4 m + 1 + C

Novamente a gente pode encontrar a constante C percebendo que g 0 = 0 0 1 y 2 arctanh y 2 d y = 0 , então...

g 0 = m = 0 0 + C = 0  

C = 0

Então, concluímos que...

g x = m = 0 1 2 m + 1 x 4 m + 1 4 m + 1       o u   a i n d a .

g x = m = 0 1 2 m + 1 4 m + 1 x 4 m + 1

Passo 5

b )

Podemos falar que por Taylor...

g x = m = 0 c m x m

Onde

c n = g n 0 n !

Então...

g 15 0 = c 15 15 !

No caso c 15 , é o termo que acompanha o x 15 na série

g x = m = 0 1 2 m + 1 4 m + 1 x 4 m + 1

Como não possui esse termo, já que 4 m + 1 = 15   não possui nenhum m inteiro que satisfaz isso, significa que c 15 = 0 !

Logo...

g 15 0 = 0

Resposta

a )     m = 0 1 2 m + 1 4 m + 1 x 4 m + 1

b )     0

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