Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1

Questão 2 (Justifique todas as suas respostas):

  1. Determine a soma da série

∑ n = 1 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 1

Ora, toda vez que temos que determinar a soma de uma série assim, é porque provavelmente a série é conhecida. Só temos que dar uma reorganizada para tentar enxergar que série é essa. Vamos nessa?

Podemos rearranjar os termos dessa série da seguinte maneira...

∑ n = 1 ∞ - 1 n π 2 n + 1 4 2 n + 1 2 n + 1 ! = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! ⋅ π 2 n + 1 4 2 n + 1 =

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! ⋅ π 4 2 n + 1

RARA! Não disse que era uma série conhecida? Se você se recordar trata-se da série do seno de x (onde x = π / 4 )...

sin ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! ⋅ x 2 n + 1

Então, o valor dessa soma simplesmente será...

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! ⋅ π 4 2 n + 1 = sin ⁡ π 4 =

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Resposta

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