Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

USP, Cálculo 4, P2 - 2018, Questão 4

Questão 4: A soma da série

n = 1 n 2 + 1 n x n

para x ] - 1 ,   1 [ é:

  1. - ln 1 - x + x 1 - x 2
  2. ln 1 - x + x 1 - x 2
  3. - ln 1 - x - x 1 - x 2
  4. - ln 1 - x + x 1 - x

Passo 1

Vamos começar trabalhando um pouco com a nossa série:

n = 1 n 2 + 1 n x n

n = 1 n x n + 1 n x n  

n = 1 n x n + n = 1 1 n x n

Show! Agora, por que fizemos essa separação? Pow, pois um termo parece muito que veio de uma derivada n x n enquanto o outro de uma integral, conseguiu ver isso? Não? Então venha comigo!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se tirarmos um x da primeira série então:

x n = 1 n x n - 1 + n = 1 x n n  

E aplicar à derivada e a integral ao mesmo tempo...

x d d x n = 1 n x n - 1   d x + d d x n = 1 x n n   d x

Perceba que não alteramos em nada, já que uma operação cancelando a outra, ou seja a derivada cancela a integral na primeira e a integral cancela a derivada no segundo somatório. Podemos jogar o somatório para fora dos parênteses invertendo a posição entre integral e série no primeiro caso e entre derivada e série no segundo:

x d d x n = 1 n x n - 1   d x + n = 1 d d x x n n   d x

E agora, ao integrar o primeiro termo e derivar o segundo, ficaremos...

x d d x n = 1 x n + n = 1 x n - 1   d x  

Sabe qual é o legal de fazer isso? É que nós conhecemos essa série aqui:

n = 0 x n = 1 1 - x    

Ou ainda, colocando a série começando de 1 ...

1 + n = 1 x n = 1 1 - x                           n = 1 x n = 1 1 - x - 1

Sendo assim:

x d d x n = 1 x n + n = 1 x n - 1   d x    

x d d x 1 1 - x - 1 + n = 1 x n - 1   d x  

Agora quem é a série de x n - 1 ?

Passo 3

Pow, a gente pode transformar esse x n - 1 em um x n (que é o que a gente sabe). Como fazemos isso? Acertou se falou mudança de variável. Se não acertou, não fique triste! Venha comigo:

Como queremos x elevado a alguém sem aquele 1 , fazemos a mudança:

n - 1 = m

Substituindo então no somatório:

n = 1 x n - 1 = m + 1 = 1 x m =

m = 0 x m

Como m é só um nome, podemos voltar a chama-lo de n :

m = 0 x m = n = 0 x n

Viu só? E quem é essa série? Isso mesmo:

1 1 - x

Passo 4

Substituindo o resultado desse último passo na igualdade que havíamos parado lá em cima:

x d d x 1 1 - x - 1 + n = 1 x n - 1   d x    

Chegamos aqui:

x d d x 1 1 - x - 1 + 1 1 - x   d x

Agora é só derivar e integrar mesmo! Bora?

Passo 5

Primeiro vamos derivar:

d d x 1 1 - x - 1

Ora, a derivada de constante é 0 , então só temos que derivar esse termo aqui:

d d x 1 1 - x

Aplicando a regra da fração:

d d x 1 1 - x = 1 ' 1 - x - 1 1 - x ' 1 - x 2  

Como a derivada de 1 é 0 ...

d d x 1 1 - x = - 1 - x ' 1 - x 2    

d d x 1 1 - x = - - 1 1 - x 2    

d d x 1 1 - x = 1 1 - x 2  

Passo 6

Agra, vamos calcular aquela integral lá:

1 1 - x   d x

Poxa, essa integral é direta, neh? E vale:

- ln 1 - x + C

O sinal na frente do l n é apenas porque se se derivar, aparece o - 1 da frente do x . Show, mas agora temos que determinar essa constante C !

Passo 7

O resultado da nossa série é o seguinte: É a soma do resultado da derivada com o da integral...

n = 1 n 2 + 1 n x n = - ln 1 - x + x 1 - x 2 + C          

Só que é essa constante C ? É a constante que surge quando integramos certo? Mas você sabia que tem como de conhecer tal constante? Basta a gente saber um valor da série para um dado x conhecido! Qual é o x mais bacana de todos que nos dá uma série conhecida?

x = 0

Pois:

n = 1 n 2 + 1 n x n = n = 1 0 = 0

Saca?

Então...

n = 1 n 2 + 1 n x n = - ln 1 - x + x 1 - x 2 + C          

Substituindo...

n = 1 0 = - ln 1 + 0 1 2 + C          

Como ln 1 = 0 ...

0 = C                     o u             C = 0

Então a resposta é simplesmente:

n = 1 n 2 + 1 n x n = - ln 1 - x + x 1 - x 2  

Resposta

n = 1 n 2 + 1 n x n = - ln 1 - x + x 1 - x 2  

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas