Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

USP, Cálculo 4, P2 - 2014, Questão 1

  1. Seja
  2. f x = 1 1 + 2 x 3

    Calcule f 30 0

  3. Obtenha uma expressão para a soma da série
  4. n = 1 - 1 n 2 n 9 n 2 x 3 n

  5. Encontre um valor para a soma do item b), quando x = 1 / 2

Passo 1

a)

Bem ele quer a derivada 30 daquela função que ele deu no ponto 0 .

Cá entre nós temos uma fração com x 3 no denominador, achar a derivada 30 dessa função na mão é algo levemente surreal né?

Mas e agora o que fazer? Olha a “coincidência”, aquela função f x , lembra uma série geométrica.

A série geométrica é

n = 0 a n = 1 1 - a

E como coloquei ali, sabemos o valor da série geométrica. Lembre-se que esse valor só vale para

a < 1

Isso não foi nada coincidência, ele colocou aquela função assim de proposito, porque assim podemos fazer uma série para f x , usando algo parecido com a série geométrica.

E daí? Eu me pergunto a mesma coisa e daí? Lembra que vimos na teoria que se uma função é aproximada por uma série de potência, essa série PRECISA ser a série de Taylor?

Então temos duas formas de aproximar a função f x , uma usando a série geométrica, e outra escrevendo pela série de Taylor.

Isso ainda não quer dizer absolutamente nada né? Mas olha a malandragem, temos dois “polinômios” infinitos certo? Podemos comparar seus coeficientes.

Lembra como é o coeficiente geral da série de Taylor?

a k = f k x 0 x - x 0 k k !

Sacou a parada? Tranquilo se não percebeu, mas comparando cada termo da série de Taylor com os termos da série geométrica achamos várias derivadas, isso porque os termos da série geométrica vai ser

a n = a n

Comparando os dois caras vamos conseguir achar a derivada que ele pede.

Vamos montando todo esse raciocínio aos poucos nos próximos passos para ficar mais claro onde queremos chegar.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar escrevendo a série geométrica

n = 0 a n = 1 1 - a

A nossa função é

f x = 1 1 + 2 x 3

Comparando uma coisa com a outra vamos ter

- a = 2 x 3

Então

a = - 2 x 3

E vamos ter

f x = n = 0 - 2 x 3 n

Com

- 2 x 3 < 1

Arrumando isso

- 2 x 3 < 1

x 3 < 1 2

x < 1 2 3

Dando uma arrumada temos

f x = n = 0 - 2 n x 3 n

Com

x < 1 2 3

Isso é um polinômio. =D

Passo 3

Agora vamos ver como é a série de Taylor dessa função, mas temos que escolher um ponto x 0 para centralizar nossa função, a série de Taylor, em torno de x 0 é

f x = k = 0 f k x 0 x - x 0 k k !

Temos duas evidências de qual o valor de x 0 , se queremos que apareça a derivada no ponto que ele quer, devemos pegar as derivadas na série de Taylor daquele ponto né, então

x 0 = 0

Outra evidência é que olhando como ficou nossa f x no fim do passo 2 , repara que lá tem

x 3 n

Queremos x k aqui também para podermos compara uma coisa com a outra. Ou seja, devemos ter

x - x 0 = x

Assim teremos de novo

x 0 = 0

Beleza, agora temos x 0 , vamos ver o polinômio de Taylor.

f x = k = 0 f k 0 x k k !

Ok, agora vamos fazer a comparação.

Passo 4

Temos

f x = n = 0 - 2 n x 3 n

E

f x = k = 0 f k 0 x k k !

Pela primeira fórmula temos que

f x = - 2 0 x 3.0 + - 2 1 x 3.1 + - 2 2 x 3.2 +

Que vai ser

f x = 1 - 2 x 3 + 4 x 6 +

Olhando a segunda fórmula temos

f x = f 0 + f 1 0 x 1 ! + f 2 0 x 2 2 ! + f 3 0 x 3 3 ! +

Comparando uma coisa com a outra vemos que

f 0 = 1

f 1 0 1 ! = 0

f 2 0 2 ! = 0

f 3 0 3 ! = - 2

E por aí vai. Eu coloquei esse primeiros caras para mostrar onde queríamos chegar. Conseguiu entender?

Vamos ao que interessa, ele pede f 30 0 , então temos que olhar o termo com x 30 do polinômio de Taylor. Assim temos que pegar k = 30

a 30 = f 30 0 x 30 30 !

Agora vamos ver o termo com x 30 na série geométrica, o termo geral dela é

a n = - 2 n x 3 n

Então devemos ter

n = 10

Assim

a 10 = - 2 10 x 30

E temos os dois termos que queríamos, isso nos diz que

f 30 0 30 ! = - 2 10

Podemos tirar aquele negativo, isso porque a potência é par.

f 30 0 30 ! = 2 10

Assim vamos ter

f 30 = 2 10 30 !

Passo 5

b)

Aqui ele quer uma expressão para

n = 1 - 1 n 2 n 9 n 2 x 3 n

De novo, aparece aqui aquela “coincidência” marota, esse cara que ele quer é MUITO parecido com a série geométrica da nossa f x , lembrando que

f x = 1 1 + 2 x 3 = n = 0 - 2 n x 3 n

Com

x < 1 2 3

Se olharmos a grande diferença está naquele 9 n 2 né?

Aqui vai algo difícil de perceber, mas que nesse tipo de questão acaba sendo na maioria das vezes algo assim, se derivarmos aquele polinômio algumas vezes vamos chegar no somatório que ele pediu.

Vamos derivar f x , primeiro vamos olhar só para o somatório, nada de contas enormes com a expressão de f x antes de entender bem essa questão.

A derivada vai ficar

f ' x = n = 1 - 2 n 3 n x 3 n - 1

Lembra que o índice anda 1 nesse caso porque o primeiro termo da soma que resulta em f x é uma constante, se ele não fosse era só manter o índice direitinho.

Isso ainda não é bem parecido, se derivarmos de novo vai aparecer algo parecido, porque ficaria 3 n 3 n - 1 certo? Mas isso não é bem o que queremos. Vamos arrumar essa paradinha aí.

f ' x = n = 1 - 2 n 3 n x 3 n x = 1 x n = 1 - 2 n 3 n x 3 n

Rapaz, para tudo, o que diabos foi feito aí? Queriamos continuar com x 3 n porque quando derivarmos essa parada de novo vai aparecer o somatório que ele quer, como o índice do somatório é n podemos tirar x de dentro do somatório, foi só isso que eu fiz, para tirar aquele - 1 que tinha na conta.

Vamos jogar esse x para o lado da f ' x

x f ' x = n = 1 - 2 n 3 n x 3 n

Vamos derivar de novo

f ' x + x f ' ' x = n = 1 - 2 n 3 n 3 n x 3 n - 1

Aqui não mudamos o índice porque o primeiro termo da série não é constante.

Vamos usar aquela marotagem do x de novo para tirar ele do somatório.

f ' x + x f ' ' x = n = 1 - 2 n 3 n 3 n x 3 n x

x f ' x + x 2 f ' ' x = n = 1 - 2 n 9 n 2 x 3 n

Opa achamos a expressão que ele queria. Agora é só achar a primeira e segunda derivada de f x e substituir do lado esquerdo dessa expressão.

Passo 6

Vamos fazer f ' x e f ' ' x

f ' x = 0 . 1 + 2 x 3 - 1 6 x 2 1 + 2 x 3 2

f ' x = - 6 x 2 1 + 2 x 3 2

Derivando de novo

f ' ' x = - 12 x 1 + 2 x 3 2 - - 6 x 2 2 1 + 2 x 3 6 x 2 1 + 2 x 3 4

f ' ' x = - 12 x 1 + 2 x 3 2 + 72 x 4 1 + 2 x 3 1 + 2 x 3 4

f ' ' x = - 12 x 1 + 2 x 3 + 72 x 4 1 + 2 x 3 1 + 2 x 3 4

f ' ' x = - 12 x - 24 x 4 + 72 x 4 1 + 2 x 3 3

f ' ' x = - 12 x + 48 x 4 1 + 2 x 3 3

Passo 7

Vamos agora para aquela expressão do fim do passo 5

x f ' x + x 2 f ' ' x = n = 1 - 2 n 3 n 3 n x 3 n

Substituindo os valores das derivadas temos

x - 6 x 2 1 + 2 x 3 2 + x 2 - 12 x + 48 x 4 1 + 2 x 3 3 = n = 1 - 2 n 9 n 2 x 3 n

- 6 x 3 1 + 2 x 3 2 + - 12 x 3 + 48 x 6 1 + 2 x 3 3 = n = 1 - 2 n 9 n 2 x 3 n

- 6 x 3 1 + 2 x 3 + - 12 x 3 + 48 x 6 1 + 2 x 3 3 = n = 1 - 2 n 9 n 2 x 3 n

- 6 x 3 - 12 x 6 - 12 x 3 + 48 x 6 1 + 2 x 3 3 = n = 1 - 2 n 9 n 2 x 3 n

- 18 x 3 + 36 x 6 1 + 2 x 3 3 = n = 1 - 2 n 9 n 2 x 3 n

Ufa, chegamos no final, cuidado para não esquecer que, isso vale para

x < 1 2 3

Passo 8

c)

Aqui ele quer aquela série do item b para x = 1 / 2 , então

n = 1 - 2 n 9 n 2 x 3 n = n = 1 - 2 n 9 n 2 1 2 3 n

Essa conta é meio braba de fazer, mas repara que achamos ali em cima uma expressão para esse somatório que ele deu, com a restrição de

x < 1 2 3

O valor que ele pediu foi x = 1 / 2 . Por acaso ele está nesse intervalo, de novo “coincidência”.

Vamos usar a expressão que é mais fácil

n = 1 - 2 n 9 n 2 1 2 3 n = - 18 1 2 3 + 36 1 2 6 1 + 2 1 2 3 3

n = 1 - 2 n 9 n 2 1 2 3 n = - 18 8 + 36 64 1 + 2 8 3

n = 1 - 2 n 9 n 2 1 2 3 n = - 9 4 + 9 16 1 + 1 4 3

n = 1 - 2 n 9 n 2 1 2 3 n = - 36 + 9 16 5 4 3

n = 1 - 2 n 9 n 2 1 2 3 n = - 27 16 125 64

n = 1 - 2 n 9 n 2 1 2 3 n = - 27 16 64 125

n = 1 - 2 n 9 n 2 1 2 3 n = - 108 125

Resposta

  1. f 30 = 2 10 30 !
  2. n = 1 - 2 n 9 n 2 x 3 n = - 18 x 3 + 36 x 6 1 + 2 x 3 3
  3. - 108 125

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