Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2018.2, Questão 1a

  1. Seja f x = x cos x 2 . Determine f 17 0 .

Passo 1

O segredo aqui está em acharmos a série de Maclaurin (Taylor centrado em zero). O problema é que essa função f x é um tanto complicada, pois teremos que derivar várias vezes e temos aí um produto que vai aumentar bastante os cálculos.

Então, podemos calcular a série de cos x 2 , por exemplo, e depois adaptar para chegar em f x . Para fazer isso, definimos u = x 2 e teremos: g u = cos u

Agora, vamos calcular a expansão em série de Maclaurin dessa função. De forma geral, vamos ter:

g u = n = 1 g n 0 n ! u n

Então, para determinar a série, vamos encontrar as derivadas em zero e achar um padrão. Temos que:

g ' u = - sen u g ' 0 = - sen 0 = 0

g ' ' u = - cos u g ' ' 0 = - cos 0 = - 1

g ' ' ' u = sen u g ' ' ' 0 = sen 0 = 0

g 4 u = cos u g 4 0 = cos 0 = 1

g 5 u = - sen u g 5 0 = - sen 0 = 0

g 6 u = - cos u g 6 0 = - cos 0 = - 1

Observando as derivadas, vemos que para ordem ímpar, a derivada é zero e para ordem par, a derivada fica variando entre - 1 e 1 . Assim, vamos ter:

g n 0 = 0 ,       n   í m p a r - 1 n ,     n   p a r

Assim, consideramos somente os termos pares 2 k e nossa série vai ficar:

g u = n = 1 g n 0 n ! u n = n = 1 - 1 k 2 k ! u 2 k

O 2 k não aparece no - 1 justamente para que fique alternando de sinal.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal, então vimos que:

g u = cos u = k = 1 - 1 k 2 k ! u 2 k

Como definimos u = x 2 , vamos ter: cos x 2 = k = 1 - 1 k 2 k ! x 2 2 k

cos x 2 = k = 1 - 1 k 2 k ! x 4 k

E podemos jogar isso na nossa expressão f x :

f x = x cos x 2

f x = x k = 1 - 1 k 2 k ! x 4 k

f x = k = 1 - 1 k 2 k ! x 4 k + 1

Passo 3

Legal, então encontramos a expansão em série de Maclaurin de f x , mas a questão pediu f 17 0 . Bem, pela forma geral, vamos ter:

f x = n = 1 f n 0 n ! x n = k = 1 - 1 k 2 k ! x 4 k + 1

Comparando os termos, teremos: f n 0 n ! x n = - 1 k 2 k ! x 4 k + 1

Assim, para n = 17 , teremos um k associado:

f 17 0 17 ! x 17 = - 1 k 2 k ! x 4 k + 1

Para a igualdade ser verdadeira, os polinômios dos dois lados têm que ser iguais. Ou seja, o grau de x é o mesmo e os coeficientes também. Assim, teremos, para o grau:

x 17 = x 4 k + 1

4 k + 1 = 17 4 k = 16 k = 4

E, para os coeficientes:

f 17 0 17 ! = - 1 4 2 4 !

f 17 0 = 17 ! 8 !

E encontramos o resultado!

Resposta

f 17 0 = 17 ! 8 !

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas