Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

USP, Cálculo 4, P3 - 2016, Questão 6

A soma da série

n = 0 - 1 n 2 n + 1

é:

a sen 1

b π 4

c ln 2

d arctan 1 2

Passo 1

Cara, essa série é muito parecida com uma famosa série de Maclaurin! Dá só uma olhada nela:

arctan x = n = 0 - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Mas po, ele só muda por causa daquele x ali. Então se a gente colocar x = 1 dos dois lados, ficamos com o que queremos:

arctan ( 1 ) = n = 0 - 1 n 1 2 n + 1 2 n + 1

arctan 1 = n = 0 - 1 n 2 n + 1

Sendo que:

arctan 1 = π 4

Então:

n = 0 - 1 n 2 n + 1 = π 4

Bizarro a gente ter que lembrar disso né?! Mas acontece direto, então fica esperto!

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Resposta

b π 4

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