Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

USP, Cálculo 4, P2 - 2018, Questão 10

Teste 10: A soma da série

n = 0 x + 2 n n + 2 !

Par x R e x - 2 é:

  1. 1 x + 2 e x + 2 - 1
  2. 1 x + 2 2 e x + 2
  3. 1 x + 2 2 e x + 2 - 1 - x + 2 - x + 2 2 2
  4. 1 x + 2 2 e x + 2 - 1 - x + 2

Passo 1

Bem, sabemos que a série...

n = 0 x n n ! = e x

É muito parecido com o que queremos, neh? Só que teremos que fazer alguns ajustes nela: primeiro vamos derivar para encontrar um termo mais parecido com n + 2 ali em baixo...

d d x n = 0 x n n ! = d d x e x

n = 1 n x n - 1 n ! = d d x e x

n = 1 x n - 1 n - 1 ! = e x

Sim, encontramos o oposto de n + 2 , mas isso é bom também, você vai entender. Por agora, só venha para a segunda derivada...

d d x n = 1 x n - 1 n - 1 ! = d d x e x

n = 2 x n - 2 n - 2 ! = e x

Poxa, se forçarmos n - 2 virar um n + 2 ...

n - 2 = m + 2       o u       n = m + 4

Então...

m = - 2 x m + 2 m + 2 ! = e x

Voltando para n ...

n = - 2 x n + 2 n + 2 ! = e x

Dividindo tudo por x 2 para esquecer:

1 x 2 n = - 2 x n + 2 n + 2 ! = 1 x 2 e x

n = - 2 x n n + 2 ! = 1 x 2 e x

E fazendo a série começar de 0 ...

x - 2 - 2 + 2 ! + x - 1 - 1 + 2 ! + n = 0 x n n + 2 ! = 1 x 2 e x

n = 0 x n n + 2 ! = 1 x 2 e x - x - 2 0 ! - x - 1 1 !

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só mudar o x     x + 2

n = 0 x n n + 2 ! = 1 x 2 e x - 1 x 2 - 1 x

n = 0 x + 2 n n + 2 ! = 1 x + 2 2 e x + 2 - 1 x + 2 2 - 1 x + 2

E a resposta correta é a letra d .

Resposta

1 x + 2 2 e x + 2 - 1 - x + 2

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