Exercícios Resolvidos de Séries de Taylor

USP, Cálculo 4, P2 - 2018, Questão 14

Teste 14: A série de Taylor da função f x = 1 2 + x 2 centrada em x = 0 , e seu intervalo de convergência, são respectivamente:

  1. n = 0 - 1 n 2 n x 2 n ,         x   ] - 1 2 ,   1 2 [
  2. n = 0 - 1 n x 2 n 2 n ,         x   ] - 2 ,   2 [
  3. n = 0 - 1 n x 2 n 2 n + 1 ,         x - 2 ,   2
  4. n = 0 - 1 n x 2 n 2 n + 1 ,         x   ] - 2 ,   2 [

Passo 1

Bem, podemos encontrar a série de Taylor dessa série comparando a maravilhosa série geométrica:

n = 0 t n = 1 1 - t ,           t < 1

Bora?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

f x = 1 2 + x 2

Para “transformar” esse 2 em 1 , podemos coloca-lo em “evidência”:

f x = 1 2 1 + x 2 2 = 1 2 1 1 + x 2 2

Se chamarmos de x 2 2 = - t ...

n = 0 t n = 1 1 - t ,             t < 1    

n = 0 - x 2 2 n = 1 1 + x 2 2 ,           - x 2 2 < 1

Multiplicando por meio...

1 2 1 1 + x 2 2 = f x = 1 2 n = 0 - x 2 2 n  

f x = 1 2 n = 0 - 1 n x 2 n 2 n    

f x = n = 0 - 1 n x 2 n 2 n + 1

Como vimos, isso só é valido para...

- x 2 2 < 1  

x 2 < 2  

x < 2

Então a resposta correta é a letra...

d )       n = 0 - 1 n x 2 n 2 n + 1 ,         x   ] - 2 ,   2 [

Resposta

d )       n = 0 - 1 n x 2 n 2 n + 1 ,         x   ] - 2 ,   2 [

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