Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Enunciado

Passo 1

O lance é esboçar o mais precisamente possível os gráficos das funções pra entender bem a região R :

Passo 2

Então R é a área entre a função em roxo, aquela reta preta e o eixo x , em que 0 ≤ y ≤ 2 . Perceba que teremos que integrar em y , pois iremos girar em torno do eixo y . Então, precisamos encontrar as funções em x . Sempre fazemos a função mais à esquerda subtraindo da função mais à direita.

f u n ç ã o   m a i s   à   e s q u e r d a → x = e 2

f u n ç ã o   m a i s   à   d i r e i t a → y = ln ⁡ x → x = e y

Assim, o volume do sólido todo é:

∫ 0 2 π e 2 2 - e y 2 d y = ∫ 0 2 π e 4 - π e 2 y d y = π e 4 y - π e 2 y 2 0 2 = π 2 e 4 - e 4 2 + 1 2 = π 3 e 4 + 1 2

Resposta

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada p
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b