Determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

c.

Passo 1

Fala turminha beleza? Bora lá! Pra essa questão de rotação de sólidos. Aqui, a grande jogada da questão é a gente calcular a diferença das integrais das equações que compõem o gráfico. Uma coisa que facilita nesse tipo de questão, é a gente imaginar como ficaria o sólido que a gente quer calcular. Aqui é como se fosse uma espécie de cilindro com uma furação cônica dentro.

Passo 2

Belezinha? Agora indo pros cálculos! Primeira coisinha que vamos fazer, é manipular o formato de f ( x ) , já que estamos rotacionando no eixo y. Portanto, vai ficar assim:

y = x 2 + 1 → x = y 2 - 1

Show! Vamos armar nossa integral. Vamos montar primeiro uma integral do cilindro completo, e depois subtrair da integral que representa o volume do cone.

V s = π ∫ ( 3 2 - y 2 - 1 2 )   d y

Passo 3

Por fim, pra gente finalizar a questão, precisamos achar os limites de integração. Pelo desenho, a gente sabe que os limites de integração são definidos por 0 e 2. E para a parte que representa o que vamo retirar, integraremos de 1 a 2, pois é a aonde o cone começa e termina. Isso porque é o intervalo que limita até aonde vamos no eixo y. Portanto, a integral que vamos resolver tem formato:

V s = π ∫ 0 2 ∫ ( 3 2 - ∫ 1 2 y 2 - 1 2 )   d y

Resolvendo, a gente observa:

V s = 3 y π ​ 0 2 - π y 3 3 - y ​ 1 2  

Logo,

V s = 14 π 3

Resposta

V s = 14 π 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .