Calcule o volume da esfera de raio r usando dos métodos que vimos na aula

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema pediu para calcularmos o volume de uma esfera de raio r

Pergunta de milhões: Como achar esse volume?

Percebemos que nossa função tem simetria esférica, então vamos integrar uma esfera em coordenadas esféricas! Quais são os limites e o diferencial de volume?

0 < ρ < r

0 < θ < 2 π

0 < ϕ < π

E o diferencial de volume

d V = ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Belê?

Então é isso que vamos fazer! Bora montar e resolver essa integral!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Montando a integral temos

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 r ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Como o integrando é independente, podemos separar em três integrais independentes

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin ⁡ ϕ d ϕ   ∫ 0 r ρ 2 d ρ

Beleza?

Agora nossa missão é resolver!

Passo 3

Resolvendo independentemente temos

∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin ⁡ ϕ d ϕ   ∫ 0 r ρ 2 d ρ

θ 0 2 π . - cos ⁡ ϕ 0 π . ρ 3 3 0 r

Agora é só aplicar os limites

2 π . - - 1 + 1 . r 3 3 = 4 π r 3 3

Que é a fórmula do volume da esfera!!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

4 π r 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .